12. Sınıf · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

~8 dk okumaZorluk: Zor22 çözümlü soru

Bilinmeyenin logaritmanın içinde ya da tabanında yer aldığı denklem ve eşitsizliklere logaritmalı denklem/eşitsizlik denir. Bu derste bunları tanıma dönüştürerek ( $\log_a x=y\iff a^{y}=x$ ), logaritmanın birebir oluşundan yararlanarak ve değişken değiştirerek nasıl çözeceğimizi öğreneceğiz. En kritik adım her zaman aynı: bulduğumuz çözümlerin tanım koşulunu (argüman $>0$ ) sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.

1. Tanım Koşulu (Her Şeyden Önce)

Logaritmalı bir denklemde işe başlamadan önce tanım koşulunu yazarız: logaritmanın içindeki her ifade kesin pozitif olmalıdır. Çözümün sonunda bulduğumuz değerleri bu koşula göre kontrol eder, koşulu bozan değerleri eleriz (bunlara yabancı kök denir).

Hatırlatma — logaritma, üstel fonksiyonun tersidir; grafiği $y=x$ doğrusuna göre üstelin simetriğidir. Bu, çözüm yaparken sürekli kullanacağımız $\log_a x=y\iff a^{y}=x$ bağıntısının kaynağıdır.

Şekil 1 —

y=\log_2 x

yalnız

x>0

için tanımlıdır (grafiği

y

ekseninin sağında kalır). Logaritmalı denklemde çıkan kökleri bu argüman $>0$ koşuluna göre eleriz.

Örnek

Soru

$\log_2(x-1)$ ifadesinin tanımlı olması için $x$ hangi değerleri alabilir?

Argüman pozitif olmalı: $x-1>0$ .
$x>1$ .

Sonuç:

x>1

, yani

(1,\ \infty)

2. Tanıma Dönüştürerek Çözme

Tek bir logaritma içeren denklemi, tanımdan yararlanıp üstel biçime çeviririz:

$\log_a f(x)=k \iff f(x)=a^{k}$

Örnek

Soru

$\log_3(x+1)=2$ denklemini çözünüz.

Tanım koşulu: $x+1>0\Rightarrow x>-1$ .
Üstel biçime geç: $x+1=3^{2}=9$ .
$x=8$ . Koşulu sağlar ( $8>-1$ ).

Sonuç:

x=8

3. İki Logaritmayı Eşitleme (Birebirlik)

Logaritma fonksiyonu birebirdir; aynı tabanlı iki logaritma eşitse argümanları da eşittir:

$\log_a f(x)=\log_a g(x)\iff f(x)=g(x)\quad (f(x)>0,\ g(x)>0)$

Birden çok logaritma terimi varsa önce özelliklerle (toplam→çarpım, fark→bölüm) tek logaritmaya indiririz.

Örnek

Soru

$\log_5(2x-1)=\log_5(x+4)$ denklemini çözünüz.

Tanım koşulu: $2x-1>0$ ve $x+4>0$ , yani $x>\dfrac{1}{2}$ .
Birebirlik: $2x-1=x+4$ .
$x=5$ . Koşulu sağlar.

Sonuç:

x=5

Örnek

Soru

$\log_2 x+\log_2(x-2)=3$ denklemini çözünüz.

Sol tarafı çarpım kuralıyla tek logaritma yap: $\log_2\big(x(x-2)\big)=3$ . Sonra üstel biçime geç. Çıkan kökleri $x>0$ ve $x-2>0$ koşuluna göre kontrol et.

Tanım koşulu: $x>0$ ve $x-2>0\Rightarrow x>2$ .
Çarpım kuralı: $\log_2\big(x(x-2)\big)=3$ .
Üstel biçim: $x(x-2)=2^{3}=8\Rightarrow x^{2}-2x-8=0$ .
Çarpanla: $(x-4)(x+2)=0\Rightarrow x=4$ veya $x=-2$ .
Kontrol: $x=4>2$ uygun; $x=-2$ koşulu bozar, elenir.

Sonuç:

x=4

4. Değişken Değiştirme

Aynı logaritma ifadesi denklemde birden çok kez (özellikle karesiyle) görünüyorsa $\log_a x=t$ diyerek denklemi ikinci dereceden denkleme çeviririz.

Örnek

Soru

$\left(\log_2 x\right)^{2}-3\log_2 x+2=0$ denklemini çözünüz.

$\log_2 x=t$ de; denklem $t^{2}-3t+2=0$ olur. $t$ değerlerini bulduktan sonra $\log_2 x=t$ 'den $x$ 'e dön.

Tanım koşulu: $x>0$ .
$\log_2 x=t$ diyelim: $t^{2}-3t+2=0$ .
Çarpanla: $(t-1)(t-2)=0\Rightarrow t=1$ veya $t=2$ .
Geri dön: $\log_2 x=1\Rightarrow x=2$ ; $\;\log_2 x=2\Rightarrow x=4$ . İkisi de $x>0$ .

Sonuç:

x=2

veya

x=4

5. Logaritmik Eşitsizlikler

Eşitsizlikte tabanın $1$ 'den büyük mü küçük mü olduğuna dikkat ederiz, çünkü taban yön belirler:

$a>1$ ise logaritma artandır: $\log_a f(x)<\log_a g(x)\iff f(x)<g(x)$ (yön korunur).
$0<a<1$ ise logaritma azalandır: eşitsizliğin yönü ters döner.

Her durumda argümanların pozitif kalması (tanım koşulu) ayrıca sağlanmalıdır.

Örnek

Soru

$\log_2(x-1)<3$ eşitsizliğini çözünüz.

Taban $2>1$ , yön korunur. Önce tanım: $x-1>0$ . Sonra $3=\log_2 8$ olduğundan $x-1<8$ .

Tanım koşulu: $x-1>0\Rightarrow x>1$ .
Taban $2>1$ (artan), $3=\log_2 8$ : $\log_2(x-1)<\log_2 8\Rightarrow x-1<8$ .
$x<9$ .
İki koşulu birleştir: $1<x<9$ .

Sonuç:

(1,\ 9)

Örnek

Soru

$\log_{1/3}(x+2)\ge -1$ eşitsizliğini çözünüz.

Taban $\frac{1}{3}<1$ (azalan): yön ters döner. $-1=\log_{1/3} 3$ çünkü $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}=3$ .

Tanım koşulu: $x+2>0\Rightarrow x>-2$ .
$-1=\log_{1/3} 3$ yaz: $\log_{1/3}(x+2)\ge\log_{1/3} 3$ .
Taban $\frac{1}{3}<1$ (azalan), yön ters döner: $x+2\le 3$ .
$x\le 1$ .
Birleştir: $-2<x\le 1$ .

Sonuç:

(-2,\ 1]

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$\log(x+3)=1$ denklemini çözünüz. (Taban $10$ .)

Tanım koşulu: $x+3>0\Rightarrow x>-3$ .
Üstel biçim: $x+3=10^{1}=10$ .
$x=7$ . Koşulu sağlar.

Sonuç:

x=7

Örnek

Soru

$\log_4(x+5)=\log_4(2x-1)$ denklemini çözünüz.

Tanım koşulu: $x+5>0$ ve $2x-1>0\Rightarrow x>\dfrac{1}{2}$ .
Birebirlik: $x+5=2x-1$ .
$x=6$ . Koşulu sağlar.

Sonuç:

x=6

Örnek

Soru

$\log_3 x+\log_3(x-6)=3$ denklemini çözünüz.

Çarpım kuralıyla tek logaritma yap, $3=\log_3 27$ olarak düşün. Çıkan kökleri $x>6$ koşuluyla ele.

Tanım koşulu: $x>0$ ve $x-6>0\Rightarrow x>6$ .
Çarpım kuralı: $\log_3\big(x(x-6)\big)=3$ .
Üstel biçim: $x(x-6)=27\Rightarrow x^{2}-6x-27=0$ .
Çarpanla: $(x-9)(x+3)=0\Rightarrow x=9$ veya $x=-3$ .
Kontrol: $x=9>6$ uygun; $x=-3$ elenir.

Sonuç:

x=9

Örnek

Soru

$\left(\log x\right)^{2}=\log x^{2}+3$ denklemini çözünüz. (Taban $10$ .)

Sağda $\log x^{2}=2\log x$ . $\log x=t$ de; $t^{2}=2t+3$ olur.

Tanım koşulu: $x>0$ .
$\log x^{2}=2\log x$ . $\log x=t$ diyelim: $t^{2}=2t+3\Rightarrow t^{2}-2t-3=0$ .
Çarpanla: $(t-3)(t+1)=0\Rightarrow t=3$ veya $t=-1$ .
Geri dön: $\log x=3\Rightarrow x=10^{3}=1000$ ; $\;\log x=-1\Rightarrow x=10^{-1}=\dfrac{1}{10}$ . İkisi de $x>0$ .

Sonuç:

x=1000

veya

x=\dfrac{1}{10}

Örnek

Soru

$\log_2(x-1)\le 2$ eşitsizliğini çözünüz.

Tanım koşulu: $x-1>0\Rightarrow x>1$ .
Taban $2>1$ , $2=\log_2 4$ : $x-1\le 4\Rightarrow x\le 5$ .
Birleştir: $1<x\le 5$ .

Sonuç:

(1,\ 5]

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$\log_2(x+3)=4$ denklemini çöz.

Tanım: $x+3>0\Rightarrow x>-3$ .
$x+3=2^{4}=16\Rightarrow x=13$ . Uygun.

Sonuç:

x=13

Örnek

Soru

$\log_5(3x+1)=\log_5(x+7)$ denklemini çöz.

Tanım: $3x+1>0$ ve $x+7>0\Rightarrow x>-\dfrac{1}{3}$ .
Birebirlik: $3x+1=x+7\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$ . Uygun.

Sonuç:

x=3

Örnek

Soru

$\log(2x-4)=2$ denklemini çöz. (Taban $10$ .)

Tanım: $2x-4>0\Rightarrow x>2$ .
$2x-4=10^{2}=100\Rightarrow 2x=104\Rightarrow x=52$ . Uygun.

Sonuç:

x=52

Örnek

Soru

$\log_3(x-2)<2$ eşitsizliğini çöz.

Tanım: $x-2>0\Rightarrow x>2$ .
Taban $3>1$ , $2=\log_3 9$ : $x-2<9\Rightarrow x<11$ .
Birleştir: $2<x<11$ .

Sonuç:

(2,\ 11)

Örnek

Soru

$\log_2 x+\log_2(x-4)=5$ denklemini çöz.

Çarpım kuralı; $5=\log_2 32$ . Kökleri $x>4$ koşuluyla ele.

Tanım: $x>0$ ve $x-4>0\Rightarrow x>4$ .
$\log_2\big(x(x-4)\big)=5\Rightarrow x(x-4)=2^{5}=32$ .
$x^{2}-4x-32=0\Rightarrow (x-8)(x+4)=0\Rightarrow x=8$ veya $x=-4$ .
Kontrol: $x=8>4$ uygun; $x=-4$ elenir.

Sonuç:

x=8

Örnek

Soru

$\log_6(x+2)+\log_6(x-3)=1$ denklemini çöz.

Çarpım kuralı; $1=\log_6 6$ . Tanım koşulu $x>3$ .

Tanım: $x+2>0$ ve $x-3>0\Rightarrow x>3$ .
$\log_6\big((x+2)(x-3)\big)=1\Rightarrow (x+2)(x-3)=6$ .
$x^{2}-x-6=6\Rightarrow x^{2}-x-12=0\Rightarrow (x-4)(x+3)=0$ .
$x=4$ veya $x=-3$ . Kontrol: $x=4>3$ uygun; $x=-3$ elenir.

Sonuç:

x=4

Örnek

Soru

$\left(\log_3 x\right)^{2}-4\log_3 x+3=0$ denklemini çöz.

$\log_3 x=t$ de; $t^{2}-4t+3=0$ . Sonra her $t$ için $x$ 'e dön.

Tanım: $x>0$ .
$\log_3 x=t$ : $t^{2}-4t+3=0\Rightarrow (t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1$ veya $t=3$ .
Geri dön: $\log_3 x=1\Rightarrow x=3$ ; $\;\log_3 x=3\Rightarrow x=27$ . İkisi de uygun.

Sonuç:

x=3

veya

x=27

Örnek

Soru

$\log_{1/2}(2x-1)\ge -2$ eşitsizliğini çöz.

Taban $\frac{1}{2}<1$ : yön ters döner. $-2=\log_{1/2} 4$ çünkü $\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4$ .

Tanım: $2x-1>0\Rightarrow x>\dfrac{1}{2}$ .
$-2=\log_{1/2} 4$ : $\log_{1/2}(2x-1)\ge\log_{1/2} 4$ .
Taban $\frac{1}{2}<1$ (azalan), yön ters: $2x-1\le 4\Rightarrow x\le\dfrac{5}{2}$ .
Birleştir: $\dfrac{1}{2}<x\le\dfrac{5}{2}$ .

Sonuç:

\left(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{5}{2}\right]

Örnek

Soru

$\log_2(x+1)+\log_2(x-1)=\log_2 8$ denklemini çöz.

Sol tarafı çarpım kuralıyla birleştir; iki tarafta da $\log_2$ olduğundan argümanları eşitle. Tanım koşulu $x>1$ .

Tanım: $x+1>0$ ve $x-1>0\Rightarrow x>1$ .
Çarpım kuralı: $\log_2\big((x+1)(x-1)\big)=\log_2 8$ .
Birebirlik: $(x+1)(x-1)=8\Rightarrow x^{2}-1=8\Rightarrow x^{2}=9$ .
$x=3$ veya $x=-3$ . Kontrol: $x=3>1$ uygun; $x=-3$ elenir.

Sonuç:

x=3

Örnek

Soru

$\log_x 16=2$ denklemini çöz. (Bilinmeyen tabandadır.)

Tanım: taban için $x>0$ ve $x\neq 1$ . Tanıma dön: $\log_x 16=2\iff x^{2}=16$ .

Taban koşulu: $x>0$ ve $x\neq 1$ .
Tanıma dön: $x^{2}=16\Rightarrow x=4$ veya $x=-4$ .
Kontrol: $x=-4$ taban olamaz (negatif), elenir; $x=4$ uygun.

Sonuç:

x=4

Sık Yapılan Hatalar

Tanım koşulunu hiç yazmamak. Logaritmalı denklemde çıkan her kök, argümanı $>0$ yapmak zorundadır; sağlamayan kök (yabancı kök) elenir.
Azalan tabanda yönü çevirmeyi unutmak. $0<a<1$ ise eşitsizliğin yönü ters döner; $a>1$ ise korunur.
Toplamı yanlış birleştirmek. $\log_a f+\log_a g=\log_a(f\cdot g)$ 'dir; $\log_a(f+g)$ değil.
Bilinmeyen tabanlı denklemde taban koşulunu atlamak. $\log_x N$ için $x>0$ ve $x\neq 1$ olmalı; negatif ya da $1$ çıkan kök elenir.

Not: Logaritmalı denklem çözmenin değişmez ritmi şudur: (1) önce tanım koşulunu yaz, (2) özelliklerle tek logaritmaya indir, (3) tanıma/birebirliğe dön, (4) çıkan kökleri koşula göre kontrol et. Dördüncü adımı atlarsan yabancı kökü cevap sanırsın.

1. Tanım Koşulu (Her Şeyden Önce)

2. Tanıma Dönüştürerek Çözme

3. İki Logaritmayı Eşitleme (Birebirlik)

4. Değişken Değiştirme

5. Logaritmik Eşitsizlikler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar — diğer konular