12. Sınıf · Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üstel Fonksiyon
Bir miktarın her adımda sabit bir oranla büyümesi ya da küçülmesi (faiz, bakteri çoğalması, radyoaktif bozunma) üstel fonksiyon ile modellenir: f(x)=a^{x}. Bu derste üstel fonksiyonun tanımını ve a>1 ile 0<a<1 durumlarındaki grafiğini, temel özelliklerini ve üstel denklemleri (tabanları eşitleyerek çözme) öğreneceğiz. Üslü ifade kurallarını (a^m\cdot a^n=a^{m+n} vb.) hatırlamak bu konunun anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla ilerleyeceğiz.
1. Üstel Fonksiyon Nedir?
a>0 ve a\neq 1 olmak üzere
f(x)=a^{x}
biçimindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. Burada a sayısına taban denir.
Neden a>0? Çünkü taban negatif olursa (örneğin (-2)^{1/2}=\sqrt{-2}) bazı x değerlerinde sonuç gerçek sayı olmaz. Neden a\neq 1? Çünkü 1^{x}=1 her zaman sabittir, yani fonksiyon eğri değil yatay bir doğru olurdu.
Tanım kümesi tüm gerçek sayılardır (\mathbb{R}); değer kümesi ise yalnızca pozitif sayılardır: a^{x}>0 her zaman. Ayrıca a^{0}=1 olduğundan her üstel fonksiyonun grafiği (0,1) noktasından geçer.
f(x)=3^{x} için f(2), f(0) ve f(-1) değerlerini bulunuz.
f(2)=3^{2}=9.f(0)=3^{0}=1.f(-1)=3^{-1}=\dfrac{1}{3}.
9,\ 1,\ \dfrac{1}{3}.2. Artan Üstel Fonksiyon (a>1)
Taban 1'den büyükse fonksiyon artandır: x büyüdükçe a^{x} de büyür. Grafik (0,1) noktasından geçer, sağa doğru hızla yükselir; sola doğru ise x ekseni (y=0) bir yatay asimptottur — grafik ona yaklaşır ama hiç dokunmaz (çünkü a^{x}>0).
f(x)=2^{x} grafiği (a=2>1). (0,1) noktasından geçer, soldan x eksenine yaklaşır (yatay asimptot y=0), sağa doğru hızla yükselir. Değer kümesi (0,\infty).f(x)=2^{x} artan mı azalan mıdır? f(3) ile f(5) değerlerini karşılaştırınız.
- Taban
2>1olduğundan fonksiyon artandır. f(3)=2^{3}=8,\;f(5)=2^{5}=32.3<5iken8<32; büyük üs büyük değeri verir.
f(3)<f(5).3. Azalan Üstel Fonksiyon (0<a<1)
Taban 0 ile 1 arasındaysa fonksiyon azalandır: x büyüdükçe a^{x} küçülür. Yine grafik (0,1) noktasından geçer ve y=0 yatay asimptottur; ama bu kez grafik sağa doğru x eksenine yaklaşır.
\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=2^{-x} olduğundan, azalan üstel grafik artan grafiğin y eksenine göre simetriğidir.
f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} grafiği (0<a<1). (0,1) noktasından geçer, sağa doğru x eksenine yaklaşır. Taban 1'den küçük olduğundan fonksiyon azalandır.f(x)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x} fonksiyonu artan mı azalan mıdır? f(-2) değerini bulunuz.
Taban \frac{1}{3}, yani 0<a<1. Ayrıca \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2} yazabilirsin.
- Taban
\frac{1}{3}<1olduğundan fonksiyon azalandır. f(-2)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2}=3^{2}=9.
f(-2)=9.4. Üstel Denklemler
Bilinmeyenin üs olarak yer aldığı denklemlere üstel denklem denir. Temel kural, üstel fonksiyonun birebir olmasına dayanır:
a^{x}=a^{y}\iff x=y\qquad (a>0,\ a\neq 1)
Yani iki tarafı aynı tabana getirip üsleri eşitleriz. Bunun için sayıları kuvvet biçiminde yazmak (örneğin 8=2^{3}, \frac{1}{9}=3^{-2}) gerekir.
2^{x}=32 denklemini çözünüz.
- Sağ tarafı
2tabanında yaz:32=2^{5}. - Denklem
2^{x}=2^{5}olur; üsleri eşitle:x=5.
x=5.3^{x-1}=\dfrac{1}{27} denklemini çözünüz.
\dfrac{1}{27}=3^{-3}. İki tarafı 3 tabanına getir, sonra üsleri eşitle.
- Sağ tarafı
3tabanında yaz:\dfrac{1}{27}=3^{-3}. - Denklem
3^{x-1}=3^{-3}olur; üsleri eşitle:x-1=-3. x=-2.
x=-2.5. Ortak Çarpan ve Değişken Değiştirme
Bazı üstel denklemlerde aynı taban birden çok terimde görünür. Üs kurallarıyla ortak çarpan parantezine alarak ya da a^{x}=t değişken değiştirmesi yaparak sadeleştiririz.
Hatırlatma: a^{x+1}=a^{x}\cdot a ve a^{2x}=\left(a^{x}\right)^{2}.
2^{x+1}+2^{x}=24 denklemini çözünüz.
2^{x+1}=2\cdot 2^{x} yaz; 2^{x}'i ortak parantezine al.
2^{x+1}=2\cdot 2^{x}olduğundan denklem:2\cdot 2^{x}+2^{x}=24.- Ortak çarpan:
2^{x}(2+1)=24\Rightarrow 3\cdot 2^{x}=24. 2^{x}=8=2^{3}\Rightarrow x=3.
x=3.Çözümlü Örnekler
5^{2x-3}=125 denklemini çözünüz.
125=5^{3}yaz:5^{2x-3}=5^{3}.- Üsleri eşitle:
2x-3=3\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3.
x=3.\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x}=8 denklemini çözünüz.
\dfrac{1}{2}=2^{-1} ve 8=2^{3}. Her şeyi 2 tabanında yaz.
\left(2^{-1}\right)^{x}=2^{3}\Rightarrow 2^{-x}=2^{3}.- Üsleri eşitle:
-x=3\Rightarrow x=-3.
x=-3.4^{x}=8^{x-1} denklemini çözünüz.
Hem 4 hem 8, 2'nin kuvvetidir: 4=2^{2}, 8=2^{3}. İki tarafı da 2 tabanına çevir.
4=2^{2},8=2^{3}:\left(2^{2}\right)^{x}=\left(2^{3}\right)^{x-1}.- Üsleri çarp:
2^{2x}=2^{3(x-1)}=2^{3x-3}. - Üsleri eşitle:
2x=3x-3\Rightarrow x=3.
x=3.3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3=0 denklemini çözünüz.
3^{x}=t (t>0) de; 3^{2x}=\left(3^{x}\right)^{2}=t^{2}. Denklem ikinci dereceden olur.
3^{x}=tdiyelim (t>0):t^{2}-4t+3=0.- Çarpanla:
(t-1)(t-3)=0\Rightarrow t=1veyat=3. - Geri dön:
3^{x}=1\Rightarrow x=0;\;3^{x}=3\Rightarrow x=1.
x=0 veya x=1.2^{x}=10 ise 2^{x+3} ifadesinin değeri kaçtır?
2^{x+3}=2^{x}\cdot 2^{3}.2^{x}=10yerine koy:10\cdot 8=80.
80.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
f(x)=4^{x} için f\left(\dfrac{1}{2}\right) değerini bul.
4^{1/2}=\sqrt{4}=2.
2.2^{x}=64 denklemini çöz.
64=2^{6}, demek ki2^{x}=2^{6}.x=6.
x=6.f(x)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x} fonksiyonu artan mı azalan mıdır?
- Taban
\dfrac{2}{3}, yani0<a<1. - Bu durumda fonksiyon azalandır.
3^{x+2}=81 denklemini çöz.
81=3^{4}:3^{x+2}=3^{4}.x+2=4\Rightarrow x=2.
x=2.\left(\dfrac{1}{5}\right)^{x}=25 denklemini çöz.
\dfrac{1}{5}=5^{-1},\;25=5^{2}:5^{-x}=5^{2}.-x=2\Rightarrow x=-2.
x=-2.9^{x}=27 denklemini çöz.
9=3^{2},27=3^{3}:\left(3^{2}\right)^{x}=3^{3}\Rightarrow 3^{2x}=3^{3}.2x=3\Rightarrow x=\dfrac{3}{2}.
x=\dfrac{3}{2}.2^{x}=5 ise 2^{2x}+2^{x} ifadesinin değeri kaçtır?
2^{2x}=\left(2^{x}\right)^{2}. Önce 2^{x}=5'i yerine koy.
2^{2x}=\left(2^{x}\right)^{2}=5^{2}=25.2^{2x}+2^{x}=25+5=30.
30.2^{x+2}+2^{x}=20 denklemini çöz.
2^{x+2}=4\cdot 2^{x}. 2^{x}'i ortak çarpan al.
2^{x+2}=2^{2}\cdot 2^{x}=4\cdot 2^{x}.- Ortak çarpan:
2^{x}(4+1)=20\Rightarrow 5\cdot 2^{x}=20. 2^{x}=4=2^{2}\Rightarrow x=2.
x=2.4^{x}-5\cdot 2^{x}+4=0 denklemini çöz.
4^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}. 2^{x}=t (t>0) diyerek ikinci dereceden denkleme çevir.
4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}.2^{x}=t(t>0) diyelim:t^{2}-5t+4=0.- Çarpanla:
(t-1)(t-4)=0\Rightarrow t=1veyat=4. - Geri dön:
2^{x}=1\Rightarrow x=0;\;2^{x}=4\Rightarrow x=2.
x=0 veya x=2.3^{x+1}+3^{x-1}=30 denklemini çöz.
3^{x+1}=3\cdot 3^{x} ve 3^{x-1}=\dfrac{3^{x}}{3}. 3^{x}'i ortak çarpan al; içteki toplamı tek kesir yap.
3^{x+1}=3\cdot 3^{x},\;3^{x-1}=\dfrac{1}{3}\cdot 3^{x}.- Ortak çarpan:
3^{x}\left(3+\dfrac{1}{3}\right)=30\Rightarrow 3^{x}\cdot\dfrac{10}{3}=30. 3^{x}=30\cdot\dfrac{3}{10}=9=3^{2}\Rightarrow x=2.
x=2.Sık Yapılan Hatalar
- Üstel fonksiyonun negatif değer alabileceğini sanmak.
a^{x}>0her zaman; bu yüzden örneğin2^{x}=-4denkleminin çözümü yoktur. - Tabanları eşitlemeden üsleri eşitlemek.
2^{x}=8'de doğrudanx=8denmez; önce8=2^{3}yazılır, sonra üsler eşitlenir. \left(a^{x}\right)^{2}ilea^{x^{2}}'yi karıştırmak.\left(2^{x}\right)^{2}=2^{2x}'tir,2^{x^{2}}değil.- Değişken değiştirmede
t>0koşulunu unutmak.a^{x}=tdaima pozitiftir; ikinci dereceden denklemden çıkan negatif kök elenir.
Not: Üstel denklemlerde refleksin her şeyi ortak tabana yazmak olsun:
4,8,16,\dots→2tabanı;9,27,81,\dots→3tabanı. Aynı taban birden çok terimdeyse ortak çarpan, üssün karesi varsaa^{x}=tdeğişken değiştirmesi işini kurtarır.