çözümebak

AYT Matematik · Trigonometri

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Değerleri

~11 dk okumaZorluk: Zor17 çözümlü soru

Trigonometrik fonksiyonlar, bir açıyı bir orana bağlayarak çemberin, üçgenin ve periyodik olayların dilini kurar. Bu konu birim çemberdeki tanımdan başlar; özel açı değerlerini, bölge işaretlerini ve indirgeme (dönüşüm) formüllerini bir araya getirerek herhangi bir açının trigonometrik değerini hesaplamayı öğretir. AYT'de en sık çıkan bölümlerden biridir.

1. Birim Çemberde Tanım

Merkezi orijinde olan ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir. Pozitif x ekseninden saat yönünün tersine x açısı kadar döndüğümüzde çember üzerinde bir P(\cos x,\ \sin x) noktası elde ederiz. Yani:

\sin x = P\text{ noktasının } y\text{ koordinatı}, \qquad \cos x = P\text{ noktasının } x\text{ koordinatı}

Tanjant ve kotanjant ise bu iki orandan türetilir:

\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\quad (\cos x \neq 0), \qquad \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}\quad (\sin x \neq 0)

Birim çemberde yarıçap 1 olduğundan, Pisagor teoreminden gelen temel özdeşlik her zaman geçerlidir:

\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1

Ayrıca \sin x ve \cos x değerleri [-1,\,1] aralığındadır; bu aralığın dışında bir değer (örneğin \sin x = 2) imkânsızdır.

2. Özel Açıların Değerleri

Aşağıdaki tablo ezberlenmesi gereken temel değerleri verir. \sin satırı 0^{\circ}'den 90^{\circ}'ye artarken, \cos satırı aynı değerleri ters sırada alır.

Açı0^{\circ}30^{\circ}45^{\circ}60^{\circ}90^{\circ}
\sin0\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}\dfrac{\sqrt3}{2}1
\cos1\dfrac{\sqrt3}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}\dfrac{1}{2}0
\tan0\dfrac{\sqrt3}{3}1\sqrt3tanımsız

Hafıza yöntemi: \sin değerlerini \dfrac{\sqrt0}{2},\ \dfrac{\sqrt1}{2},\ \dfrac{\sqrt2}{2},\ \dfrac{\sqrt3}{2},\ \dfrac{\sqrt4}{2} olarak yazarsan sıra kendiliğinden çıkar. \cos için aynı listeyi tersten oku.

Örnek
Soru

\sin 30^{\circ} + \cos 60^{\circ} değerini bulunuz.

  1. Tablodan oku: \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} ve \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

  2. Topla: \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1.

Sonuç: \sin 30^{\circ} + \cos 60^{\circ} = 1
Örnek
Soru

\tan 45^{\circ} + \tan 60^{\circ}\cdot\cot 60^{\circ} değerini bulunuz.

  1. Tablodan oku: \tan 45^{\circ} = 1 ve \tan 60^{\circ} = \sqrt3.

  2. \cot 60^{\circ} = \dfrac{1}{\tan 60^{\circ}} = \dfrac{1}{\sqrt3} olduğundan \tan 60^{\circ}\cdot\cot 60^{\circ} = \sqrt3\cdot\dfrac{1}{\sqrt3} = 1.

  3. Topla: 1 + 1 = 2.

Sonuç: İfadenin değeri 2.

3. Bölge İşaretleri

Birim çember dört bölgeye ayrılır. Her bölgede hangi fonksiyonların pozitif olduğu sabittir:

BölgeAçı aralığıPozitif olanlar
I0^{\circ} – 90^{\circ}hepsi (\sin,\cos,\tan,\cot)
II90^{\circ} – 180^{\circ}yalnız \sin
III180^{\circ} – 270^{\circ}yalnız \tan,\ \cot
IV270^{\circ} – 360^{\circ}yalnız \cos

Bu kural İngilizce ASTC kısaltmasıyla hatırlanır: I'de All (hepsi), II'de Sin, III'te Tan, IV'te Cos pozitiftir.

Örnek
Soru

\sin 120^{\circ} pozitif mi negatif mi, neden?

  1. 120^{\circ} açısı 90^{\circ} ile 180^{\circ} arasında olduğundan II. bölgededir.

  2. II. bölgede yalnız \sin pozitiftir (ASTC: Sin).

  3. Bu yüzden \sin 120^{\circ} > 0. (Değeri ise indirgemeyle \dfrac{\sqrt3}{2} bulunur.)

Sonuç: Pozitiftir; çünkü 120^{\circ} II. bölgededir ve orada \sin pozitiftir.

4. İndirgeme (Dönüşüm) Formülleri

Herhangi bir açının trigonometrik değerini, dar açı (0^{\circ} – 90^{\circ}) cinsinden yazmaya indirgeme denir. Sık kullanılan formüller:

FormülAçıklama
\sin(180^{\circ}-x) = \sin xII. bölge, \sin pozitif
\cos(180^{\circ}-x) = -\cos xII. bölge, \cos negatif
\sin(180^{\circ}+x) = -\sin xIII. bölge, \sin negatif
\sin(-x) = -\sin x\sin tek fonksiyondur
\cos(-x) = \cos x\cos çift fonksiyondur
\sin(90^{\circ}-x) = \cos xtümler açı kuralı

İndirgemenin iki adımı vardır: önce işaret (bölge ve ASTC'den), sonra değer (dar açıdan). İki teaching örnek:

Örnek
Soru

\cos 150^{\circ} değerini indirgeme ile bulunuz.

150^{\circ} = 180^{\circ} - 30^{\circ} yazıp \cos(180^{\circ}-x) = -\cos x formülünü kullan.

  1. Açıyı parçala: 150^{\circ} = 180^{\circ} - 30^{\circ}.

  2. Formülü uygula: \cos(180^{\circ}-30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ}.

  3. Tablodan değer yaz: \cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt3}{2}, dolayısıyla sonuç -\dfrac{\sqrt3}{2}.

  4. Kontrol: 150^{\circ} II. bölgededir, orada \cos negatiftir; işaret doğru.

Sonuç: \cos 150^{\circ} = -\dfrac{\sqrt3}{2}
Örnek
Soru

\tan 210^{\circ} değerini bulunuz.

  1. Açıyı parçala: 210^{\circ} = 180^{\circ} + 30^{\circ}, yani III. bölge.

  2. III. bölgede \tan pozitiftir (ASTC: Tan), dolayısıyla işaret artıdır.

  3. \tan(180^{\circ}+x) = \tan x olduğundan \tan 210^{\circ} = \tan 30^{\circ}.

  4. Tablodan değer yaz: \tan 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt3}{3}.

Sonuç: \tan 210^{\circ} = \dfrac{\sqrt3}{3}

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\sin(-30^{\circ}) + \cos(-60^{\circ}) değerini bulunuz.

  1. \sin tek fonksiyondur: \sin(-30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\dfrac{1}{2}.

  2. \cos çift fonksiyondur: \cos(-60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

  3. Topla: -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0.

Sonuç: İfadenin değeri 0.
Örnek
Soru

\dfrac{\sin 120^{\circ}}{\cos 240^{\circ}} değerini bulunuz.

Pay ve paydayı ayrı ayrı indirge: 120^{\circ} = 180^{\circ}-60^{\circ} ve 240^{\circ} = 180^{\circ}+60^{\circ}.

  1. Pay: \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ}-60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt3}{2}.

  2. Payda: \cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ}+60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\dfrac{1}{2}.

  3. Böl: \dfrac{\frac{\sqrt3}{2}}{-\frac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\dfrac{2}{1}\right) = -\sqrt3.

Sonuç: İfadenin değeri -\sqrt3.
Örnek
Soru

II. bölgede bir x açısı için \sin x = \dfrac{3}{5} ise \cos x değerini bulunuz.

\sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 özdeşliğini kullan; sonra bölgeye göre işaret seç.

  1. Temel özdeşlik: \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}.

  2. Karekök al: \cos x = \pm\dfrac{4}{5}.

  3. İşaret seç: x II. bölgede olduğundan \cos x < 0 (ASTC: II'de yalnız \sin pozitif).

  4. Bu yüzden \cos x = -\dfrac{4}{5}.

Sonuç: \cos x = -\dfrac{4}{5}
Örnek
Soru

\sin^{2}40^{\circ} + \sin^{2}50^{\circ} değerini bulunuz.

40^{\circ} ile 50^{\circ} tümler açılardır: 50^{\circ} = 90^{\circ} - 40^{\circ}.

  1. Tümler açı kuralı: \sin 50^{\circ} = \sin(90^{\circ}-40^{\circ}) = \cos 40^{\circ}.

  2. Yerine yaz: \sin^{2}40^{\circ} + \sin^{2}50^{\circ} = \sin^{2}40^{\circ} + \cos^{2}40^{\circ}.

  3. Temel özdeşlik: \sin^{2}40^{\circ} + \cos^{2}40^{\circ} = 1.

Sonuç: İfadenin değeri 1.
Örnek
Soru

\cos 135^{\circ} + \sin 225^{\circ} değerini bulunuz.

  1. İlk terim: \cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ}-45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = -\dfrac{\sqrt2}{2}.

  2. İkinci terim: \sin 225^{\circ} = \sin(180^{\circ}+45^{\circ}) = -\sin 45^{\circ} = -\dfrac{\sqrt2}{2}.

  3. Topla: -\dfrac{\sqrt2}{2} + \left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right) = -\sqrt2.

Sonuç: İfadenin değeri -\sqrt2.
Örnek
Soru

IV. bölgede bir x açısı için \tan x = -\dfrac{3}{4} ise \sin x değerini bulunuz.

\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} ve \sin^{2}x + \cos^{2}x = 1 ilişkilerini birlikte kullan; bir dik üçgen düşünebilirsin.

  1. \tan x = -\dfrac{3}{4} olduğundan karşı/komşu oranı 3 ve 4'tür; hipotenüs \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5.

  2. Bu durumda |\sin x| = \dfrac{3}{5} ve |\cos x| = \dfrac{4}{5} olur.

  3. İşaretleri belirle: IV. bölgede yalnız \cos pozitiftir; dolayısıyla \sin x < 0.

  4. Bu yüzden \sin x = -\dfrac{3}{5}. (Kontrol: \tan x = \dfrac{-3/5}{4/5} = -\dfrac{3}{4}, doğru.)

Sonuç: \sin x = -\dfrac{3}{5}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

III. bölgede bulunan bir x açısı için \tan x = 2 veriliyor.

Buna göre \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} ifadesinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{1}{2} · B) \dfrac{1}{3} · C) \dfrac{2}{3} · D) 1 · E) 3

  1. Pay ve paydayı \cos x'e bölersek (III. bölgede \cos x \neq 0): \dfrac{\sin x - \cos x}{\sin x + \cos x} = \dfrac{\tan x - 1}{\tan x + 1}.

  2. \tan x = 2 değerini yerine koy: \dfrac{2 - 1}{2 + 1} = \dfrac{1}{3}.

  3. İfade \tan x cinsinden yazıldığı için bölge işaretinden bağımsızdır; sonuç doğrudan bulunur.

Sonuç: B) \dfrac{1}{3}
Örnek
Soru

\dfrac{\sin 150^{\circ}\cdot\cos 300^{\circ}}{\tan 225^{\circ}} işlemi yapılıyor.

Buna göre bu ifadenin değeri kaçtır?

A) -\dfrac{1}{2} · B) -\dfrac{1}{4} · C) \dfrac{1}{8} · D) \dfrac{1}{4} · E) \dfrac{1}{2}

  1. \sin 150^{\circ} = \sin(180^{\circ}-30^{\circ}) = \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

  2. \cos 300^{\circ} = \cos(360^{\circ}-60^{\circ}) = \cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}.

  3. \tan 225^{\circ} = \tan(180^{\circ}+45^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1.

  4. Yerine yaz: \dfrac{\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}{1} = \dfrac{1}{4}.

Sonuç: D) \dfrac{1}{4}
Örnek
Soru

III. bölgede bulunan bir x açısı için \cos x = -\dfrac{5}{13} veriliyor.

Buna göre \sin x + \tan x ifadesinin değeri kaçtır?

A) -\dfrac{12}{13} · B) \dfrac{12}{5} · C) \dfrac{84}{65} · D) \dfrac{90}{65} · E) \dfrac{96}{65}

  1. Temel özdeşlik: \sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}, yani \sin x = \pm\dfrac{12}{13}.

  2. İşaret seç: x III. bölgede olduğundan \sin x < 0, böylece \sin x = -\dfrac{12}{13}.

  3. Tanjantı bul: \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \dfrac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = \dfrac{12}{5} (III. bölgede \tan pozitif; tutarlı).

  4. Topla: \sin x + \tan x = -\dfrac{12}{13} + \dfrac{12}{5} = \dfrac{-60 + 156}{65} = \dfrac{96}{65}.

Sonuç: E) \dfrac{96}{65}
Örnek
Soru

\dfrac{\sin 1^{\circ}+\sin 2^{\circ}+\sin 3^{\circ}+\cdots+\sin 179^{\circ}}{\cos 90^{\circ}+\sin 90^{\circ}} işleminin sonucu, \sin 90^{\circ} dışındaki terimler ikişerli eşleştirilerek bulunmak isteniyor.

Buna göre, paydaki \sin 1^{\circ}+\sin 2^{\circ}+\cdots+\sin 179^{\circ} toplamı için aşağıdaki eşleştirmelerden hangisi doğrudur?

A) \sin 1^{\circ}=-\sin 179^{\circ} · B) \sin 1^{\circ}=\sin 179^{\circ} · C) \sin 1^{\circ}=\cos 179^{\circ} · D) \sin 2^{\circ}=-\sin 178^{\circ} · E) \sin 89^{\circ}=-\sin 91^{\circ}

179^{\circ}=180^{\circ}-1^{\circ} yaz ve \sin(180^{\circ}-x)=\sin x formülünü uygula.

  1. İndirgeme formülü: \sin(180^{\circ}-x)=\sin x.

  2. 179^{\circ}=180^{\circ}-1^{\circ} olduğundan \sin 179^{\circ}=\sin(180^{\circ}-1^{\circ})=\sin 1^{\circ}.

  3. Demek ki \sin 1^{\circ}=\sin 179^{\circ} eşitliği doğrudur (B). Aynı mantıkla \sin 2^{\circ}=\sin 178^{\circ}, \sin 89^{\circ}=\sin 91^{\circ}; bu yüzden işaretli seçenekler (A, D, E) yanlıştır.

  4. Kontrol: II. bölgede (90^{\circ}–180^{\circ}) \sin pozitif olduğundan \sin 179^{\circ}>0; işaretsiz B seçeneği tutarlıdır.

Sonuç: B) \sin 1^{\circ}=\sin 179^{\circ}
Örnek
Soru

II. bölgede bulunan bir x açısı için 5\sin x-3=0 eşitliği sağlanıyor.

Buna göre \dfrac{\tan x}{\cos x} ifadesinin değeri kaçtır?

A) -\dfrac{15}{16} · B) -\dfrac{16}{15} · C) -\dfrac{20}{16} · D) \dfrac{15}{16} · E) \dfrac{16}{15}

  1. \sin x'i bul: 5\sin x=3\Rightarrow \sin x=\dfrac{3}{5}.

  2. \cos x'i bul: \cos^{2}x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}, yani \cos x=\pm\dfrac{4}{5}. II. bölgede \cos x<0 olduğundan \cos x=-\dfrac{4}{5}.

  3. \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{3/5}{-4/5}=-\dfrac{3}{4}.

  4. İfadeyi yaz: \dfrac{\tan x}{\cos x}=\dfrac{-\frac{3}{4}}{-\frac{4}{5}}=-\dfrac{3}{4}\cdot\left(-\dfrac{5}{4}\right)=\dfrac{15}{16}.

Sonuç: D) \dfrac{15}{16}
Örnek
Soru

f(x)=\sin x fonksiyonu için f(x)+f(180^{\circ}-x)+f(180^{\circ}+x)+f(360^{\circ}-x) ifadesi sadeleştiriliyor.

Buna göre bu ifade aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 4\sin x · B) 2\sin x · C) 0 · D) -2\sin x · E) \sin x

Dört terimi indirgeme formülleriyle \sin x cinsinden ayrı ayrı yaz, sonra topla.

  1. f(x)=\sin x.

  2. f(180^{\circ}-x)=\sin(180^{\circ}-x)=\sin x (II. bölge, \sin pozitif).

  3. f(180^{\circ}+x)=\sin(180^{\circ}+x)=-\sin x (III. bölge, \sin negatif).

  4. f(360^{\circ}-x)=\sin(360^{\circ}-x)=\sin(-x)=-\sin x (IV. bölge, \sin negatif).

  5. Topla: \sin x+\sin x-\sin x-\sin x=0.

Sonuç: C) 0

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İndirgeme sorularını iki adımda çöz: önce işaret (açının bölgesi + ASTC), sonra değer (dar açıya indirgeyip özel açı tablosundan oku). Bu iki adımı ayrı ayrı yaparsan işaret hatası yapma olasılığın neredeyse sıfıra iner.

Trigonometri — diğer konular