çözümebak

AYT Matematik · Trigonometri

Üçgende Trigonometri (Sinüs-Kosinüs Teoremi)

~9 dk okumaZorluk: Zor17 çözümlü soru

Bir üçgenin kenarları ile açıları arasındaki bağıntılar, dik üçgenle sınırlı kalmaz: sinüs ve kosinüs teoremleri, herhangi bir üçgende eksik kenar veya açıyı bulmamızı sağlar. Bu konu, AYT'de geometri ve trigonometriyi birleştiren en verimli başlıklardan biridir.

1. Temel Gösterim ve Üç Teorem

Bir üçgende kenarlar a, b, c ile, bu kenarların karşısındaki açılar A, B, C ile gösterilir. Yani a kenarı A açısının karşısındadır.

Sinüs Teoremi

Bir üçgende her kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin yarıçapının iki katına eşittir:

\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R

Burada R, üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır. Bu teorem genellikle bir kenar ile karşı açısı bilindiğinde işe yarar.

Kosinüs Teoremi

Bir kenarın karesini, diğer iki kenar ve aralarındaki açı cinsinden verir:

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A

Döngüsel olarak diğer kenarlar için de yazılır:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos B,\qquad c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C

Açıyı yalnız bırakacak şekilde de düzenlenebilir:

\cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}

Bu teorem, iki kenar ile aralarındaki açı ya da üç kenar bilindiğinde kullanılır.

ABCAcba
Şekil 1 — Herhangi bir ABC üçgeninde A köşesinde buluşan b ve c kenarları ile aralarındaki A açısı verildiğinde, karşı kenar a kosinüs teoremiyle bulunur: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.

Üçgenin Alanı

İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan, kenar uzunlukları ile açının sinüsünden bulunur:

\text{Alan}=\dfrac{1}{2}\,b\,c\,\sin A=\dfrac{1}{2}\,a\,c\,\sin B=\dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C

BilinenlerKullanılacak araç
İki kenar + aralarındaki açıKosinüs teoremi (kenar), alan formülü
Üç kenarKosinüs teoremi (açı)
Bir kenar + karşı açı (+ bir veri)Sinüs teoremi, 2R
Örnek
Soru

Bir üçgende b=5, c=8 ve aralarındaki açı A=60^{\circ} ise a kenarını bulunuz.

  1. Kosinüs teoremini yaz: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.

  2. Değerleri yerine koy: a^{2}=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot\cos 60^{\circ}.

  3. \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2} olduğundan: a^{2}=89-80\cdot\dfrac{1}{2}=89-40=49.

  4. Kök al: a=\sqrt{49}=7.

Sonuç: a=7
Örnek
Soru

Bir üçgende a=10 ve A=30^{\circ} ise çevrel çemberin yarıçapı R kaçtır?

Sinüs teoreminin \dfrac{a}{\sin A}=2R kısmını kullan. \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}.

  1. Sinüs teoremi: \dfrac{a}{\sin A}=2R.

  2. Yerine koy: 2R=\dfrac{10}{\sin 30^{\circ}}=\dfrac{10}{1/2}=20.

  3. İkiye böl: R=10.

Sonuç: R=10
Örnek
Soru

İki kenarı 6 ve 8 birim, bu kenarlar arasındaki açı 30^{\circ} olan üçgenin alanını bulunuz.

  1. Alan formülü: \text{Alan}=\dfrac{1}{2}\,b\,c\,\sin A.

  2. Değerleri yaz: \text{Alan}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot\sin 30^{\circ}.

  3. \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2} olduğundan: \text{Alan}=\dfrac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot\dfrac{1}{2}=12.

Sonuç: Alan =12 birimkare
Örnek
Soru

Kenarları a=7, b=5, c=3 olan üçgende A açısını bulunuz.

En büyük kenar (a) en büyük açının karşısındadır. Kosinüs teoremini açı için düzenlenmiş hâlde kullan.

  1. Açı için kosinüs teoremi: \cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}.

  2. Yerine koy: \cos A=\dfrac{25+9-49}{2\cdot 5\cdot 3}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac{1}{2}.

  3. Kosinüsü -\dfrac{1}{2} olan açı: A=120^{\circ}.

Sonuç: A=120^{\circ} (üçgen geniş açılıdır)
Örnek
Soru

Bir üçgende a=6, b=4 ve A=90^{\circ} ise \sin B değerini bulunuz.

  1. Sinüs teoremi: \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}.

  2. Yerine koy: \dfrac{6}{\sin 90^{\circ}}=\dfrac{4}{\sin B}, yani \dfrac{6}{1}=\dfrac{4}{\sin B}.

  3. İçler-dışlar çarpımı: 6\sin B=4 \Rightarrow \sin B=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.

Sonuç: \sin B=\dfrac{2}{3}

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Bir üçgende b=7, c=3 ve aralarındaki açı A=120^{\circ} ise a kenarını bulunuz.

  1. Kosinüs teoremi: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A.

  2. \cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2} olduğuna dikkat et: a^{2}=49+9-2\cdot 7\cdot 3\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right).

  3. İşareti doğru uygula: a^{2}=58+21=79.

  4. Kök al: a=\sqrt{79}.

Sonuç: a=\sqrt{79}
Örnek
Soru

Kenarları a=8, b=7, c=5 olan üçgenin alanını bulunuz.

Önce bir açının kosinüsünü kosinüs teoremiyle bul, sonra o açının sinüsünü hesaplayıp alan formülünü uygula.

  1. a karşısındaki A açısı için: \cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\dfrac{49+25-64}{2\cdot 7\cdot 5}=\dfrac{10}{70}=\dfrac{1}{7}.

  2. Sinüsü bul: \sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\sqrt{1-\dfrac{1}{49}}=\sqrt{\dfrac{48}{49}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}.

  3. Alan formülü (A açısı b ile c arasındadır): \text{Alan}=\dfrac{1}{2}\,b\,c\,\sin A=\dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 5\cdot\dfrac{4\sqrt{3}}{7}.

  4. Sadeleştir: \text{Alan}=\dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 4\sqrt{3}=10\sqrt{3}.

Sonuç: Alan =10\sqrt{3} birimkare
Örnek
Soru

Çevrel çemberinin yarıçapı R=6 olan bir üçgende A=45^{\circ} ise A açısının karşısındaki a kenarını bulunuz.

  1. Sinüs teoremi: \dfrac{a}{\sin A}=2R, yani a=2R\sin A.

  2. Değerleri yerine koy: a=2\cdot 6\cdot\sin 45^{\circ}=12\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

  3. Sadeleştir: a=6\sqrt{2}.

Sonuç: a=6\sqrt{2}
Örnek
Soru

Bir kenarı a=6 olan eşkenar üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R kaçtır?

Eşkenar üçgende her açı 60^{\circ} olduğundan sinüs teoremi doğrudan uygulanır.

  1. Eşkenar üçgende her iç açı 60^{\circ}'dir: A=60^{\circ}.

  2. Sinüs teoremi: 2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{6}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{6}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{3}}.

  3. Paydayı rasyonelleştir: 2R=\dfrac{12}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}.

  4. İkiye böl: R=2\sqrt{3}.

Sonuç: R=2\sqrt{3}
Örnek
Soru

İki kenarı a=5 ve b=5 olan ikizkenar üçgende, bu eşit kenarlar arasındaki tepe açısı C=120^{\circ} ise tabana (c kenarına) ait uzunluğu bulunuz.

  1. Tepe açısı C, a ile b kenarları arasındadır; karşısındaki kenar c'dir. Kosinüs teoremi: c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C.

  2. \cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2} ile: c^{2}=25+25-2\cdot 5\cdot 5\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right).

  3. İşareti uygula: c^{2}=50+25=75.

  4. Kök al: c=\sqrt{75}=5\sqrt{3}.

Sonuç: c=5\sqrt{3}
Örnek
Soru

Bir üçgende kenarlar a=4, b=6 ve aralarındaki açı C=60^{\circ} ise c kenarını ve üçgenin alanını bulunuz.

C açısı a ile b arasındadır; bu yüzden hem kosinüs teoremi hem de alan formülü bu iki kenar üzerinden yazılır.

  1. Kosinüs teoremi: c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C=16+36-2\cdot 4\cdot 6\cdot\dfrac{1}{2}.

  2. Hesapla: c^{2}=52-24=28 \Rightarrow c=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.

  3. Alan formülü: \text{Alan}=\dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\sin 60^{\circ}.

  4. \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} ile: \text{Alan}=12\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}.

Sonuç: c=2\sqrt{7} ve Alan =6\sqrt{3} birimkare

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Kenar uzunlukları a=7, b=8 ve c=13 birim olan bir üçgen veriliyor.

Buna göre, bu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 10\sqrt{3} · B) 12\sqrt{3} · C) 14\sqrt{3} · D) 14\sqrt{2} · E) 28

  1. c=13 kenarının karşısındaki C açısını bulmak için kosinüs teoremini açı biçiminde yaz: \cos C=\dfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}.

  2. Değerleri yerine koy: \cos C=\dfrac{49+64-169}{2\cdot 7\cdot 8}=\dfrac{-56}{112}=-\dfrac{1}{2}.

  3. Kosinüsü -\dfrac{1}{2} olan açı C=120^{\circ}'dir; buradan \sin C=\dfrac{\sqrt{3}}{2} bulunur.

  4. C açısı a ile b kenarları arasında olduğundan alan formülü doğrudan uygulanır: \text{Alan}=\dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C=\dfrac{1}{2}\cdot 7\cdot 8\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

  5. Sadeleştir: \text{Alan}=\dfrac{56\sqrt{3}}{4}=14\sqrt{3}.

Sonuç: C) 14\sqrt{3}
Örnek
Soru

Bir ABC üçgeninde b=5, c=8 birim ve bu iki kenar arasındaki A açısı 60^{\circ}'dir.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R kaç birimdir?

A) \dfrac{7\sqrt{3}}{3} · B) \dfrac{7}{3} · C) \dfrac{7\sqrt{3}}{2} · D) 7 · E) \dfrac{14\sqrt{3}}{3}

  1. Karşı açısı bilinen bir kenar yok; önce kosinüs teoremiyle a kenarını bul: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot\cos 60^{\circ}.

  2. \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2} ile: a^{2}=89-80\cdot\dfrac{1}{2}=89-40=49 \Rightarrow a=7.

  3. Artık a=7 kenarı ile karşı açısı A=60^{\circ} elimizde; sinüs teoremini 2R ile yaz: 2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{7}{\sin 60^{\circ}}=\dfrac{7}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=\dfrac{14}{\sqrt{3}}.

  4. Paydayı rasyonelleştir: 2R=\dfrac{14}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{14\sqrt{3}}{3}.

  5. İkiye böl: R=\dfrac{7\sqrt{3}}{3}.

Sonuç: A) \dfrac{7\sqrt{3}}{3}
Örnek
Soru

Kenar uzunlukları a=13, b=14 ve c=15 birim olan bir üçgen veriliyor.

Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı R kaç birimdir?

A) \dfrac{63}{8} · B) \dfrac{65}{8} · C) 8 · D) \dfrac{65}{4} · E) \dfrac{33}{4}

  1. Bir kenar ile karşı açısını elde etmek için a=13 kenarının karşısındaki A açısını kosinüs teoremiyle bul: \cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=\dfrac{196+225-169}{2\cdot 14\cdot 15}.

  2. Hesapla: \cos A=\dfrac{252}{420}=\dfrac{3}{5}.

  3. Sinüsü bul: \sin A=\sqrt{1-\cos^{2}A}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}.

  4. Sinüs teoremini 2R ile uygula: 2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{13}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{65}{4}.

  5. İkiye böl: R=\dfrac{65}{8}.

Sonuç: B) \dfrac{65}{8}
Örnek
Soru

Bir ABC üçgeninde b=2\sqrt{3} birim, c=2 birim ve bu iki kenar arasındaki açı A=30^{\circ}'dir.

Buna göre, a kenarının karşısındaki A açısı dışında kalan, b kenarının karşısındaki B açısı kaç derecedir?

A) 30 · B) 45 · C) 60 · D) 90 · E) 120

Önce kosinüs teoremiyle a kenarını bul, sonra sinüs teoremiyle \sin B'yi hesapla. b en büyük kenar değil; dar açı seç.

  1. Kosinüs teoremi: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=12+4-2\cdot 2\sqrt{3}\cdot 2\cdot\cos 30^{\circ}.

  2. \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} ile: a^{2}=16-8\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=16-12=4 \Rightarrow a=2.

  3. Sinüs teoremi: \dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}\Rightarrow \dfrac{2}{\sin 30^{\circ}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sin B}.

  4. \sin 30^{\circ}=\dfrac12 ile: \dfrac{2}{1/2}=4=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sin B}\Rightarrow \sin B=\dfrac{2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.

  5. \sin B=\dfrac{\sqrt{3}}{2} veren açı 60^{\circ} ya da 120^{\circ}'dir. A=30^{\circ} olduğundan B=120^{\circ} alınırsa açılar toplamı 30+120=150 olur ve C=30^{\circ} kalır (geçerli). B=60^{\circ} ise C=90^{\circ} olur. İki kenarla aralarındaki açı (SAS) verildiğinde üçgen tek türlü belirlidir; a=c=2 olduğundan üçgen ikizkenardır ve A=C, yani C=30^{\circ}, dolayısıyla B=120^{\circ}'dir.

Sonuç: E) 120
Örnek
Soru

Bir ABC üçgeninde \dfrac{a}{\sin A}=12 birimdir ve a=6 birimdir.

Buna göre, a kenarını gören (karşı) A açısı kaç derecedir?

A) 30 · B) 45 · C) 60 · D) 90 · E) 120

\dfrac{a}{\sin A}=2R=12 ilişkisinden \sin A'yı doğrudan çek.

  1. Sinüs teoremi: \dfrac{a}{\sin A}=12 \Rightarrow \sin A=\dfrac{a}{12}=\dfrac{6}{12}=\dfrac12.

  2. \sin A=\dfrac12 veren dar açı A=30^{\circ}'dir (geniş açı seçeneği 150^{\circ} şıklarda yok).

Sonuç: A) 30
Örnek
Soru

Bir ABC üçgeninde b=6, c=10 birim ve bu iki kenar arasındaki A açısı için \cos A=\dfrac{4}{5} veriliyor (A dar açı).

Buna göre, a kenarının uzunluğunun karesi (a^{2}) ile üçgenin alanının (S) toplamı a^{2}+S kaçtır?

A) 40 · B) 48 · C) 54 · D) 58 · E) 76

a için kosinüs teoremi (cos zaten verilmiş); alan için önce \sin A'yı Pisagor'la bul, sonra \dfrac12 bc\sin A uygula.

  1. Kosinüs teoremi: a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A=36+100-2\cdot 6\cdot 10\cdot\dfrac{4}{5}.

  2. Hesapla: a^{2}=136-120\cdot\dfrac{4}{5}=136-96=40.

  3. Sinüsü bul: A dar açı olduğundan \sin A=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}.

  4. Alan: S=\dfrac12\,b\,c\,\sin A=\dfrac12\cdot 6\cdot 10\cdot\dfrac{3}{5}=30\cdot\dfrac{3}{5}=18.

  5. Toplamı yaz: a^{2}+S=40+18=58.

Sonuç: D) 58

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Hangi teoremi seçeceğine bilinenlere bakarak karar ver: iki kenar + aralarındaki açı ya da üç kenar varsa kosinüs teoremi; bir kenar ile karşı açısı varsa sinüs teoremi (ve 2R ile çevrel çember). Alan için elinde iki kenar ve aralarındaki açı olup olmadığını kontrol et. \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}, \cos 120^{\circ}=-\dfrac{1}{2}, \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}, \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} değerlerini ezbere bilmek, bu soruları saniyeler içinde çözmeni sağlar.

Trigonometri — diğer konular