çözümebak

AYT Matematik · Trigonometri

Trigonometrik Özdeşlikler

~10 dk okumaZorluk: Zor18 çözümlü soru

Trigonometrik özdeşlikler, açılar arasındaki ilişkileri kullanarak değer hesaplama ve ifade sadeleştirme yapmamızı sağlar. Pisagor özdeşliği, toplam–fark ve iki kat açı formülleri AYT'de sık çıkar; bu üç grup, çoğu sorunun çözüm anahtarıdır. Aşağıda her formülü önce kuruyor, sonra örneklerle pekiştiriyoruz.

1. Temel (Pisagor) Özdeşlikleri

Birim çember üzerinde bir noktanın koordinatları (\cos x,\ \sin x) olduğundan, çemberin denkleminden doğrudan şu temel bağıntı çıkar:

\sin^2 x+\cos^2 x=1

Bu özdeşliği \cos^2 x ya da \sin^2 x ile bölerek diğer iki temel bağıntıyı elde ederiz:

ÖzdeşlikFormül
Pisagor\sin^2 x+\cos^2 x=1
Tanjant tanımı\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}
Sekant bağıntısı1+\tan^2 x=\dfrac{1}{\cos^2 x}
Kosekant bağıntısı1+\cot^2 x=\dfrac{1}{\sin^2 x}

Pisagor özdeşliği, \sin x ile \cos x arasında köprü kurar: birini biliyorsan, açının bölgesine bakarak diğerini işaretiyle birlikte bulabilirsin.

Örnek
Soru

\sin^2 15^{\circ}+\cos^2 15^{\circ} ifadesinin değerini bulunuz.

  1. Pisagor özdeşliğini hatırla: her x açısı için \sin^2 x+\cos^2 x=1.

  2. Burada x=15^{\circ}; özdeşlik açıya bağlı değildir, doğrudan 1 verir.

Sonuç: \sin^2 15^{\circ}+\cos^2 15^{\circ}=1
Örnek
Soru

\sin x=\dfrac{3}{5} ve x açısı I. bölgede ise \cos x değerini bulunuz.

Pisagor özdeşliğinden \cos^2 x=1-\sin^2 x. I. bölgede kosinüs pozitiftir.

  1. Pisagor özdeşliği: \cos^2 x=1-\sin^2 x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}.

  2. Karekök al: \cos x=\pm\dfrac{4}{5}.

  3. x I. bölgede olduğundan \cos x>0; pozitif kökü seç.

Sonuç: \cos x=\dfrac{4}{5}

2. Toplam ve Fark Formülleri

İki açının toplamının ya da farkının trigonometrik değerini, tek tek açıların değerleri cinsinden veren formüller:

\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b

\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b

\tan(a\pm b)=\frac{\tan a\pm\tan b}{1\mp\tan a\tan b}

Kosinüsün işaretine dikkat: \cos(a+b) açılımında ortada eksi, \cos(a-b) açılımında artı işareti gelir (formüldeki \mp bunu söyler).

Örnek
Soru

\sin 75^{\circ} değerini toplam formülüyle bulunuz.

75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ} yazıp \sin(a+b) formülünü uygula.

  1. Açıyı bilinen açılarla yaz: 75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}.

  2. Formülü uygula: \sin 75^{\circ}=\sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ}+\cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ}.

  3. Değerleri yerleştir: \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}.

  4. Birleştir: \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.

Sonuç: \sin 75^{\circ}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
Örnek
Soru

\cos 75^{\circ} değerini fark/toplam formülüyle bulunuz.

  1. 75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ} ve \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b.

  2. Yerleştir: \cos 75^{\circ}=\cos 45^{\circ}\cos 30^{\circ}-\sin 45^{\circ}\sin 30^{\circ}.

  3. Değerleri koy: \dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{\sqrt6}{4}-\dfrac{\sqrt2}{4}.

  4. Birleştir: \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.

Sonuç: \cos 75^{\circ}=\dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}

3. İki Kat Açı Formülleri

Toplam formüllerinde b=a alınırsa iki kat açı formülleri çıkar:

\sin 2x=2\sin x\cos x

\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=2\cos^2 x-1=1-2\sin^2 x

\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}

Kosinüsün üç farklı yazımı çok işe yarar: elinde yalnız \sin x varsa 1-2\sin^2 x, yalnız \cos x varsa 2\cos^2 x-1 biçimini seç.

Örnek
Soru

\sin x=\dfrac{3}{5}, \cos x=\dfrac{4}{5} (x I. bölgede) ise \sin 2x ve \cos 2x değerlerini bulunuz.

  1. \sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{25}.

  2. \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\dfrac{16}{25}-\dfrac{9}{25}=\dfrac{7}{25}.

Sonuç: \sin 2x=\dfrac{24}{25},\quad \cos 2x=\dfrac{7}{25}
Örnek
Soru

\dfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x} ifadesini sadeleştiriniz.

Payda iki kat açı, paydada \cos 2x=2\cos^2 x-1 yazımını kullan.

  1. Payı aç: \sin 2x=2\sin x\cos x.

  2. Paydayı düzenle: 1+\cos 2x=1+(2\cos^2 x-1)=2\cos^2 x.

  3. Oranı yaz: \dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x.

Sonuç: \dfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\tan x

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\tan 15^{\circ} değerini fark formülüyle bulunuz.

15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ} yaz ve \tan(a-b) formülünü kullan.

  1. Formülü yaz: \tan(45^{\circ}-30^{\circ})=\dfrac{\tan 45^{\circ}-\tan 30^{\circ}}{1+\tan 45^{\circ}\tan 30^{\circ}}.

  2. Değerleri koy (\tan 45^{\circ}=1, \tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt3}): \dfrac{1-\frac{1}{\sqrt3}}{1+\frac{1}{\sqrt3}}=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}.

  3. Paydayı eşleniğiyle çarp (rasyonelleştir): \dfrac{(\sqrt3-1)^2}{(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\dfrac{3-2\sqrt3+1}{3-1}=\dfrac{4-2\sqrt3}{2}.

  4. Sadeleştir: 2-\sqrt3.

Sonuç: \tan 15^{\circ}=2-\sqrt3
Örnek
Soru

\sin 105^{\circ} değerini bulunuz.

  1. Açıyı parçala: 105^{\circ}=60^{\circ}+45^{\circ}.

  2. Toplam formülü: \sin 105^{\circ}=\sin 60^{\circ}\cos 45^{\circ}+\cos 60^{\circ}\sin 45^{\circ}.

  3. Değerleri koy: \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}.

  4. Birleştir: \dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.

Sonuç: \sin 105^{\circ}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}
Örnek
Soru

\cos 40^{\circ}\cos 20^{\circ}-\sin 40^{\circ}\sin 20^{\circ} ifadesinin değerini bulunuz.

İfade, \cos(a+b) formülünün açık hâline benziyor.

  1. Kalıbı tanı: \cos a\cos b-\sin a\sin b=\cos(a+b).

  2. a=40^{\circ}, b=20^{\circ} için: \cos(40^{\circ}+20^{\circ})=\cos 60^{\circ}.

  3. Değeri yaz: \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}.

Sonuç: \dfrac{1}{2}
Örnek
Soru

\cos x=\dfrac{5}{13} ve x açısı I. bölgede ise \cos 2x değerini bulunuz.

  1. Yalnız \cos x verildiğinden uygun yazımı seç: \cos 2x=2\cos^2 x-1.

  2. Yerine koy: 2\cdot\left(\dfrac{5}{13}\right)^2-1=2\cdot\dfrac{25}{169}-1=\dfrac{50}{169}-1.

  3. Ortak paydada birleştir: \dfrac{50-169}{169}=-\dfrac{119}{169}.

Sonuç: \cos 2x=-\dfrac{119}{169}
Örnek
Soru

\tan a=2 ve \tan b=3 ise \tan(a+b) değerini bulunuz.

  1. Toplam formülü: \tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.

  2. Değerleri koy: \dfrac{2+3}{1-2\cdot 3}=\dfrac{5}{1-6}=\dfrac{5}{-5}.

  3. Sadeleştir: -1.

Sonuç: \tan(a+b)=-1
Örnek
Soru

(\sin x+\cos x)^2 ifadesini \sin 2x cinsinden yazınız.

Kareyi aç, sonra Pisagor ve iki kat açı özdeşliklerini kullan.

  1. Kareyi aç: \sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x.

  2. Pisagor özdeşliği: \sin^2 x+\cos^2 x=1, böylece ifade 1+2\sin x\cos x olur.

  3. İki kat açı: 2\sin x\cos x=\sin 2x.

Sonuç: (\sin x+\cos x)^2=1+\sin 2x

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

a ve b dar açılardır. \sin a=\dfrac{3}{5} ve \cos b=\dfrac{5}{13} olarak veriliyor.

Buna göre \cos(a-b) değeri kaçtır?

A) \dfrac{16}{65} · B) \dfrac{33}{65} · C) \dfrac{56}{65} · D) \dfrac{63}{65} · E) \dfrac{64}{65}

  1. a dar açı ve \sin a=\dfrac{3}{5}; Pisagor'dan \cos a=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{4}{5}.

  2. b dar açı ve \cos b=\dfrac{5}{13}; benzer şekilde \sin b=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}.

  3. Fark formülü: \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.

  4. Yerine koy: \dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{5}{13}+\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{20}{65}+\dfrac{36}{65}=\dfrac{56}{65}.

Sonuç: C) \dfrac{56}{65}
Örnek
Soru

Bir x açısı için \sin x+\cos x=\dfrac{1}{2} eşitliği sağlanıyor.

Buna göre \sin 2x değeri kaçtır?

A) -\dfrac{3}{4} · B) -\dfrac{1}{4} · C) \dfrac{1}{4} · D) \dfrac{1}{2} · E) \dfrac{3}{4}

  1. Verilen eşitliğin karesini al: (\sin x+\cos x)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}.

  2. Sol tarafı aç: \sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x.

  3. Pisagor ve iki kat açı: \sin^2 x+\cos^2 x=1 ve 2\sin x\cos x=\sin 2x; böylece 1+\sin 2x=\dfrac{1}{4}.

  4. Çöz: \sin 2x=\dfrac{1}{4}-1=-\dfrac{3}{4}.

Sonuç: A) -\dfrac{3}{4}
Örnek
Soru

\cos x+\sin x\neq 0 olmak üzere \dfrac{\cos 2x}{\cos x+\sin x} ifadesi veriliyor.

Buna göre bu ifade aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) \sin x+\cos x · B) 2\cos x · C) \tan x · D) \cos x-\sin x · E) 1

  1. Payı iki kat açı yazımıyla aç: \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.

  2. İki kare farkı olarak çarpanlara ayır: \cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).

  3. İfadeyi yaz: \dfrac{(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)}{\cos x+\sin x}.

  4. Ortak çarpan \cos x+\sin x sadeleşir: geriye \cos x-\sin x kalır.

Sonuç: D) \cos x-\sin x
Örnek
Soru

Dar açı olan bir x için \sin x=\dfrac{4}{5} veriliyor.

Buna göre \dfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x} ifadesinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{3}{5} · B) \dfrac{4}{5} · C) \dfrac{4}{3} · D) \dfrac{3}{4} · E) \dfrac{5}{3}

İfade \tan x'e sadeleşir: pay 2\sin x\cos x, payda 1+\cos 2x=2\cos^{2}x.

  1. Sadeleştir: \dfrac{\sin 2x}{1+\cos 2x}=\dfrac{2\sin x\cos x}{2\cos^{2}x}=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x.

  2. \cos x'i bul: x dar açı olduğundan \cos x=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\dfrac{3}{5}.

  3. Tanjantı yaz: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{4/5}{3/5}=\dfrac{4}{3}.

Sonuç: C) \dfrac{4}{3}
Örnek
Soru

\cos 2x=\dfrac{7}{25} ve x açısı I. bölgededir.

Buna göre \sin x+\cos x ifadesinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{1}{5} · B) \dfrac{7}{5} · C) \dfrac{17}{25} · D) \dfrac{24}{25} · E) \dfrac{31}{25}

(\sin x+\cos x)^{2}=1+\sin 2x ilişkisini kullan; önce \sin 2x'i bulman gerekir.

  1. \cos 2x=\dfrac{7}{25} ve x I. bölgede (2x de I. bölgede, çünkü \cos 2x>0 ve \sin 2x>0 seçilir): \sin 2x=\sqrt{1-\cos^{2}2x}=\sqrt{1-\dfrac{49}{625}}=\sqrt{\dfrac{576}{625}}=\dfrac{24}{25}.

  2. Kareli özdeşlik: (\sin x+\cos x)^{2}=\sin^{2}x+\cos^{2}x+2\sin x\cos x=1+\sin 2x=1+\dfrac{24}{25}=\dfrac{49}{25}.

  3. Karekök al: \sin x+\cos x=\pm\dfrac{7}{5}. I. bölgede \sin x>0 ve \cos x>0 olduğundan toplam pozitiftir.

Sonuç: B) \dfrac{7}{5}
Örnek
Soru

\dfrac{\sin 3x}{\sin x}-\dfrac{\cos 3x}{\cos x} ifadesi sadeleştiriliyor.

Buna göre bu ifade aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) 1 · B) 2 · C) \cos 2x · D) \dfrac{2}{\cos 2x} · E) \tan 2x

Önce ortak paydada birleştir; pay \sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\sin(3x-x) olur.

  1. Ortak paydada birleştir: \dfrac{\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x}{\sin x\cos x}.

  2. Payda fark formülünü tanı: \sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x=\sin(3x-x)=\sin 2x.

  3. Paydayı iki kat açıyla yaz: \sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin 2x.

  4. Oranı sadeleştir: \dfrac{\sin 2x}{\frac{1}{2}\sin 2x}=2.

Sonuç: B) 2

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Değer sorularında verilen açıyı 30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ} gibi bilinen açıların toplamı/farkı olarak yazmaya çalış (75^{\circ}=45^{\circ}+30^{\circ}, 15^{\circ}=45^{\circ}-30^{\circ}, 105^{\circ}=60^{\circ}+45^{\circ}). Sadeleştirme sorularında ise 1+\cos 2x=2\cos^2 x ve 1-\cos 2x=2\sin^2 x dönüşümleri çoğu ifadeyi tek adımda kapatır.

Trigonometri — diğer konular