çözümebak

TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Hareket (Hız) Problemleri

~9 dk okumaZorluk: Zor19 çözümlü soru

Hareket problemleri, yol – hız – zaman arasındaki tek bir bağıntıya dayanır: x=v\cdot t. TYT'de bu konu birim dönüşümü, karşılıklı/aynı yönde hareket ve ortalama hız soruları olarak çıkar. Püf noktası neredeyse her zaman birim uyumu ve doğru bağıntıyı kurmaktır. Bu derste temel formülden başlayıp sınavda en sık çıkan tüm tipleri çözeceğiz.

1. Temel Bağıntı: Yol = Hız · Zaman

Sabit hızla giden bir cismin aldığı yol, hızı ile geçen zamanın çarpımıdır:

x=v\cdot t

Burada x yol, v hız, t zamandır. Bu tek bağıntıdan diğer iki büyüklük çekilir:

v=\dfrac{x}{t}\qquad\text{ve}\qquad t=\dfrac{x}{v}

Üç büyüklükten ikisi verildiğinde üçüncüsü daima bulunur. Aklında bir "x=v\cdot t üçgeni" tut: üstte x, altta v ve t yan yana; aradığını kapat, geriye kalan işlemi oku.

Birim Uyumu

Bağıntının doğru çalışması için birimlerin uyumlu olması şarttır:

HızYolZaman
km/saatkmsaat
m/saniyemsaniye

Dikkat: Hız km/saat ise zaman saat cinsinden olmalı. 30 dakika =\dfrac{1}{2} saat, 45 dakika =\dfrac{3}{4} saat. Soruda dakika verilip hız km/saat ise, önce dakikayı saate çevir.

Bir hız birimini diğerine çevirirken 1\text{ km}=1000\text{ m} ve 1\text{ saat}=3600\text{ saniye} kullanılır:

1\ \dfrac{\text{km}}{\text{saat}}=\dfrac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}}=\dfrac{5}{18}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}

2. Karşılıklı (Zıt Yönde) Hareket

İki araç birbirine doğru hareket ediyorsa, aralarındaki mesafe her iki hızın toplamı kadar bir hızla kapanır. İlk mesafe x, hızlar v_1 ve v_2 ise karşılaşma süresi:

t=\dfrac{x}{v_1+v_2}

Mantık: bir saniyede ilk araç v_1, diğeri v_2 kadar yol alır; aradaki boşluk toplam v_1+v_2 kadar azalır.

3. Aynı Yönde Hareket

İki araç aynı yönde giderse, arkadaki öndekine hızların farkı kadar bir hızla yaklaşır. Arkadaki hızlı araç (v_1), önündeki yavaş aracı (v_2) yakalamak için aradaki x mesafesini kapatır:

t=\dfrac{x}{v_1-v_2}\qquad (v_1>v_2)

Özet kural: Karşılıklı harekette hızları topla, aynı yönde harekette çıkar. Karşılaşma/yakalama süresi her zaman aradaki mesafe bölü bu bağıl hızdır.

4. Ortalama Hız

Bir aracın ortalama hızı, hızların aritmetik ortalaması değildir. Daima toplam yolun toplam süreye bölümüdür:

v_{\text{ort}}=\dfrac{\text{toplam yol}}{\text{toplam süre}}

Farklı hızlarda geçen sürelerin uzunlukları farklı olduğu için, yavaş giden hız ortalamayı kendine doğru daha çok çeker.

Örnek
Soru

60 km/saat hızla giden bir araç 3 saatte kaç km yol alır?

  1. Bağıntıyı yaz: x=v\cdot t.

  2. Değerleri yerine koy: x=60\cdot 3=180 km.

Sonuç: 180 km.
Örnek
Soru

240 km'lik yolu 4 saatte alan bir aracın hızı kaç km/saattir?

  1. Hız bağıntısını yaz: v=\dfrac{x}{t}.

  2. Değerleri yerine koy: v=\dfrac{240}{4}=60 km/saat.

Sonuç: 60 km/saat.
Örnek
Soru

Aralarında 300 km bulunan iki şehirden aynı anda birbirine doğru iki araç çıkıyor. Hızları 90 km/saat ve 60 km/saat olduğuna göre kaç saat sonra karşılaşırlar?

Araçlar birbirine doğru gittiği için aradaki mesafe, hızların toplamı ile kapanır.

  1. Karşılaşma süresi bağıntısı: t=\dfrac{x}{v_1+v_2}.

  2. Hızları topla: v_1+v_2=90+60=150 km/saat.

  3. Süreyi bul: t=\dfrac{300}{150}=2 saat.

Sonuç: 2 saat sonra karşılaşırlar.
Örnek
Soru

80 km/saat hızla giden bir aracın 50 km önünde, aynı yönde 60 km/saat hızla giden başka bir araç vardır. Arkadaki araç öndekini kaç saatte yakalar?

Aynı yönde hareket: arkadaki öndekine hızların farkı kadar bir hızla yaklaşır.

  1. Yakalama süresi bağıntısı: t=\dfrac{x}{v_1-v_2}.

  2. Hızların farkını al: v_1-v_2=80-60=20 km/saat.

  3. Süreyi bul: t=\dfrac{50}{20}=2{,}5 saat.

Sonuç: 2{,}5 saat.
Örnek
Soru

72 km/saat hız kaç m/saniyedir?

  1. Çevrim katsayısını kullan: 1\ \dfrac{\text{km}}{\text{saat}}=\dfrac{5}{18}\ \dfrac{\text{m}}{\text{s}}.

  2. Çarp: 72\cdot\dfrac{5}{18}=4\cdot 5=20 m/s.

Sonuç: 20 m/saniye.
Örnek
Soru

Bir araç iki şehir arasındaki 120 km'lik yolu gidişte 60 km/saat, dönüşte 40 km/saat hızla almıştır. Aracın bu gidiş-dönüş için ortalama hızı kaç km/saattir?

Ortalama hız, \dfrac{60+40}{2}=50 değildir. Toplam yolu toplam süreye böl.

  1. Gidiş süresi: t_1=\dfrac{120}{60}=2 saat.

  2. Dönüş süresi: t_2=\dfrac{120}{40}=3 saat.

  3. Toplam yol: 120+120=240 km. Toplam süre: 2+3=5 saat.

  4. Ortalama hız: v_{\text{ort}}=\dfrac{240}{5}=48 km/saat.

Sonuç: 48 km/saat. (Aritmetik ortalama olan 50'den küçüktür, çünkü yavaş hızla daha uzun süre gidilmiştir.)

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

90 km/saat hızla giden bir araç 360 km yolu kaç saatte alır?

  1. Zaman bağıntısını yaz: t=\dfrac{x}{v}.

  2. Değerleri yerine koy: t=\dfrac{360}{90}=4 saat.

Sonuç: 4 saat.
Örnek
Soru

90 km/saat hızla giden bir araç 40 dakikada kaç km yol alır?

  1. Birim uyumu için dakikayı saate çevir: 40 dk =\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3} saat.

  2. Bağıntıyı uygula: x=v\cdot t=90\cdot\dfrac{2}{3}=60 km.

Sonuç: 60 km.
Örnek
Soru

25 m/saniye hız kaç km/saattir?

  1. m/s'den km/saat'e geçmek için \dfrac{18}{5} ile çarp.

  2. Çarp: 25\cdot\dfrac{18}{5}=5\cdot 18=90 km/saat.

Sonuç: 90 km/saat.
Örnek
Soru

İki şehirden aynı anda birbirine doğru çıkan iki araç 80 km/saat ve 70 km/saat hızla gidiyor ve 3 saat sonra karşılaşıyorlar. İki şehir arasındaki uzaklık kaç km'dir?

Karşılıklı harekette aralarındaki mesafe, hızların toplamı kadar bir hızla kapanır.

  1. Bağıl hızı bul: v_1+v_2=80+70=150 km/saat.

  2. Karşılaşana kadar kapanan mesafe, başlangıçtaki uzaklığa eşittir: x=(v_1+v_2)\cdot t.

  3. Hesapla: x=150\cdot 3=450 km.

Sonuç: 450 km.
Örnek
Soru

75 km/saat hızla giden bir aracın 60 km önünde, aynı yönde sabit hızla giden başka bir araç vardır. Arkadaki araç öndekini tam 4 saatte yakaladığına göre öndeki aracın hızı kaç km/saattir?

Aynı yönde harekette aradaki mesafe, hızların farkı kadar bir hızla kapanır.

  1. Yakalama bağıntısı: t=\dfrac{x}{v_1-v_2}.

  2. Değerleri yerine koy: 4=\dfrac{60}{75-v_2}.

  3. Eşitlikten: 75-v_2=\dfrac{60}{4}=15, buradan v_2=75-15=60 km/saat.

Sonuç: 60 km/saat.
Örnek
Soru

Bir araç bir yolu giderken 30 km/saat, aynı yolu dönerken 60 km/saat hızla almıştır. Aracın gidiş-dönüş için ortalama hızı kaç km/saattir?

Yol uzunluğunu bilmesen de seçebilirsin; gidiş ve dönüş yolu eşit olduğundan sonuç yol uzunluğundan bağımsızdır.

  1. Tek yön mesafesine pratik olarak 60 km diyelim (iki hızın ortak katı).

  2. Gidiş süresi: \dfrac{60}{30}=2 saat. Dönüş süresi: \dfrac{60}{60}=1 saat.

  3. Toplam yol =60+60=120 km, toplam süre =2+1=3 saat.

  4. Ortalama hız: v_{\text{ort}}=\dfrac{120}{3}=40 km/saat.

Sonuç: 40 km/saat.
Örnek
Soru

200 metre uzunluğundaki bir tren, 20 m/saniye sabit hızla giderek 300 metre uzunluğundaki bir köprüyü baştan sona kaç saniyede geçer?

Tren köprüyü tam geçerken, ön ucunun aldığı yol köprü uzunluğu artı tren uzunluğu kadardır.

  1. Alınması gereken yol: tren boyu + köprü boyu =200+300=500 m.

  2. Zaman bağıntısı: t=\dfrac{x}{v}.

  3. Hesapla: t=\dfrac{500}{20}=25 saniye.

Sonuç: 25 saniye.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Aynı noktadan zıt yönlere 60 km/saat ve 40 km/saat hızlarla hareket eden iki araç aralarındaki mesafe 200 km olduğunda kaç saat sonra birbirlerinden 500 km uzakta olurlar?

A) 2 · B) 2{,}5 · C) 3 · D) 3{,}5 · E) 4

  1. Zıt yönde giderlerken hızlar toplanır: 60+40=100 km/saat.

  2. Birbirlerinden uzaklaşmak için kat etmeleri gereken ek mesafe: 500-200=300 km.

  3. Süre: t=\dfrac{300}{100}=3 saat.

Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

Aralarında 480 km bulunan iki şehirden aynı anda birbirine doğru iki tren hareket ediyor. Hızları sırasıyla 100 km/saat ve 60 km/saat olduğuna göre, hareketten kaç saat sonra aralarındaki uzaklık 160 km olur?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

Karşılıklı harekette mesafe, hızların toplamı kadar bir hızla kapanır. Kapanması gereken mesafe 480-160'tır.

  1. Birbirine yaklaşma hızı: 100+60=160 km/saat.

  2. Aralarındaki uzaklığın 160 km'ye düşmesi için kapanması gereken mesafe: 480-160=320 km.

  3. Süre: t=\dfrac{320}{160}=2 saat.

Sonuç: B) 2
Örnek
Soru

Uzunluğu 120 m olan bir tren, 20 m/s sabit hızla giderken 280 m uzunluğundaki bir köprüyü tamamen geçmesi kaç saniye sürer?

A) 15 · B) 18 · C) 20 · D) 22 · E) 25

Trenin köprüyü tamamen geçmesi için tren boyu ile köprü boyu kadar yol alması gerekir.

  1. Alınması gereken yol: 120+280=400 m.

  2. t=\dfrac{x}{v} bağıntısından t=\dfrac{400}{20}=20 saniye.

Sonuç: C) 20
Örnek
Soru

Sabit 90 km/saat hızla giden bir otobüs, bir mola yerinden diğerine 25 dakikada ulaşıyor. İki mola yeri arasındaki uzaklık kaç km'dir?

A) 30 · B) 33 · C) 35{,}5 · D) 37{,}5 · E) 40

Hız km/saat olduğundan zamanı saate çevir: 25 dk =\dfrac{25}{60} saat.

  1. Zamanı saate çevir: 25 dk =\dfrac{25}{60}=\dfrac{5}{12} saat.

  2. Yol: x=v\cdot t=90\cdot\dfrac{5}{12}=\dfrac{450}{12}=37{,}5 km.

Sonuç: D) 37{,}5
Örnek
Soru

Bir kamyon bir noktadan 60 km/saat sabit hızla yola çıkıyor. Aynı noktadan 2 saat sonra, aynı yönde 80 km/saat hızla bir otomobil hareket ediyor. Otomobil, yola çıkışından kaç saat sonra kamyona yetişir?

A) 4 · B) 5 · C) 6 · D) 7 · E) 8

Otomobil yola çıktığında kamyon önde bir mesafe almıştır. Aradaki bu mesafeyi, hızların farkı kapatır.

  1. Otomobil yola çıktığında kamyon 2 saatte 60\cdot 2=120 km ilerlemiştir.

  2. Aynı yönde gidildiği için bağıl hız hızların farkıdır: 80-60=20 km/saat.

  3. 120 km'lik açığı kapatma süresi: t=\dfrac{120}{20}=6 saat (otomobilin yola çıkışından itibaren).

Sonuç: C) 6
Örnek
Soru

Bir araç iki şehir arasını gidişte 90 km/saat, dönüşte 60 km/saat hızla almıştır. Gidiş ile dönüş yolu eşit olduğuna göre aracın tüm yolculuk için ortalama hızı kaç km/saattir?

A) 70 · B) 72 · C) 74 · D) 75 · E) 76

Ortalama hız \dfrac{90+60}{2} değildir. Tek yön mesafesine pratik bir değer (ör. 180 km) verip toplam yolu toplam süreye böl.

  1. Tek yön mesafesine 180 km diyelim (90 ve 60'ın ortak katı).

  2. Gidiş süresi: \dfrac{180}{90}=2 saat. Dönüş süresi: \dfrac{180}{60}=3 saat.

  3. Toplam yol 360 km, toplam süre 5 saat. Ortalama hız: \dfrac{360}{5}=72 km/saat.

Sonuç: B) 72

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular