TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Sayı ve Kesir Problemleri

~8 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Sayı ve kesir problemleri, TYT'nin en çok soru getiren konularından biridir ve aslında tek bir beceriye dayanır: sözel ifadeyi doğru denkleme çevirmek. Bilinmeyene $x$ deyip cümleyi parça parça matematiğe çevirdiğinde, geriye yalnızca birinci dereceden bir denklem çözmek kalır. Bu derste çeviri sözlüğünü kurar, sayı ve kesir problemlerini örneklerle işler ve sınavda zaman kazandıran refleksleri ediniriz.

1. Sözel İfadeyi Denkleme Çevirme

Her problemin ilk adımı aynıdır: aranan büyüklüğe $x$ de, sonra cümledeki her ifadeyi $x$ cinsinden yaz. Aşağıdaki mini sözlük, en sık geçen kalıpları kapsar.

Sözel ifade	Matematiksel karşılığı
Bir sayı	$x$
Bir sayının $3$ katı	$3x$
Bir sayının $5$ fazlası	$x+5$
Bir sayının $4$ eksiği	$x-4$
Bir sayının yarısı	$\dfrac{x}{2}$
Bir sayının üçte biri	$\dfrac{x}{3}$
İki katının $3$ fazlası	$2x+3$
Bir sayının $\dfrac{2}{3}$ 'ü	$\dfrac{2}{3}x$

Püf noktası: "kat" çarpma, "fazlası/eksiği" toplama–çıkarma demektir. " $3$ fazlası" ( $x+3$ ) ile " $3$ katı" ( $3x$ ) bambaşka ifadelerdir; sınavda en çok bu karıştırma puan kaybettirir.

2. Sayı Problemleri

Tek bilinmeyenli kurulan problemlerde cümleyi soldan sağa okuyup denkleme dök. Birden fazla sayı varsa, birini diğeri cinsinden yazarak yine tek bilinmeyene in.

Ardışık sayılar: Ardışık tam sayılar $x,\ x+1,\ x+2,\dots$ şeklindedir. Ancak ardışık tek ya da ardışık çift sayılar ikişer ikişer artar; doğru gösterim $x,\ x+2,\ x+4,\dots$ olur.

Örnek

Soru

Bir sayının $3$ katının $5$ fazlası $26$ ise bu sayı kaçtır?

Sayıya $x$ diyelim. " $3$ katı" $=3x$ , " $5$ fazlası" $=3x+5$ .
Denklemi kur: $3x+5=26$ .
$5$ 'i karşıya at: $3x=21$ .
Her iki tarafı $3$ 'e böl: $x=7$ .
Doğrulama: $3\cdot 7+5=21+5=26$ . ✓

Sonuç: Sayı

7

'dir.

Örnek

Soru

İki sayının toplamı $40$ 'tır. Biri diğerinin $3$ katı ise sayılar kaçtır?

Küçük sayıya $x$ de; büyük sayı onun $3$ katı, yani $3x$ olur. Toplamları $40$ .

Küçük sayı $x$ olsun. Diğeri onun $3$ katı: $3x$ .
Toplamları $40$ : $x+3x=40$ .
Topla: $4x=40$ , buradan $x=10$ .
Diğer sayı: $3x=3\cdot 10=30$ .
Doğrulama: $10+30=40$ ve $30=3\cdot 10$ . ✓

Sonuç: Sayılar

10

30

'dur.

Örnek

Soru

Ardışık iki tek sayının toplamı $36$ ise büyük sayı kaçtır?

Ardışık tek sayılar ikişer artar: küçüğü $x$ ise büyüğü $x+2$ 'dir, $x+1$ değil.

Küçük tek sayı $x$ olsun; ardışık tek sayı $x+2$ 'dir.
Toplamları $36$ : $x+(x+2)=36$ .
Sadeleştir: $2x+2=36$ , yani $2x=34$ ve $x=17$ .
Sayılar $17$ ve $19$ ; büyük olan $19$ 'dur.
Doğrulama: $17+19=36$ , ikisi de tek. ✓

Sonuç: Büyük sayı

19

'dur.

3. Kesir Problemleri

Kesir problemlerinde iki kalıp öne çıkar:

"Bir sayının $\dfrac{a}{b}$ 'i" ifadesi $\dfrac{a}{b}x$ demektir; örneğin "bir sayının $\dfrac{2}{3}$ 'ü" $=\dfrac{2}{3}x$ .
Paydalı denklemlerde önce paydaları eşitle (veya tüm denklemi paydaların EKOK'u ile çarp), böylece kesirlerden kurtul.

Örnek

Soru

Bir sayının $\dfrac{2}{3}$ 'ü $18$ ise bu sayı kaçtır?

Sayı $x$ olsun. " $\dfrac{2}{3}$ 'ü" $=\dfrac{2}{3}x$ .
Denklem: $\dfrac{2}{3}x=18$ .
Her iki tarafı $\dfrac{3}{2}$ ile çarp: $x=18\cdot\dfrac{3}{2}=27$ .
Doğrulama: $\dfrac{2}{3}\cdot 27=2\cdot 9=18$ . ✓

Sonuç: Sayı

27

'dir.

Örnek

Soru

Bir sayının yarısı ile üçte birinin toplamı $25$ ise bu sayı kaçtır?

"Yarısı" $=\dfrac{x}{2}$ , "üçte biri" $=\dfrac{x}{3}$ . Paydaları eşitlemek için ortak payda $6$ kullan.

Sayı $x$ olsun: $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}=25$ .
Ortak payda $6$ : $\dfrac{3x}{6}+\dfrac{2x}{6}=25$ .
Payları topla: $\dfrac{5x}{6}=25$ .
Her iki tarafı $\dfrac{6}{5}$ ile çarp: $x=25\cdot\dfrac{6}{5}=30$ .
Doğrulama: $\dfrac{30}{2}+\dfrac{30}{3}=15+10=25$ . ✓

Sonuç: Sayı

30

'dur.

Örnek

Soru

Bir kesrin payı, paydasından $4$ eksiktir. Bu kesir $\dfrac{3}{5}$ 'e eşit olduğuna göre kesir nedir?

Paydaya $x$ de; pay paydadan $4$ eksik olduğundan pay $x-4$ olur. İçler–dışlar çarpımıyla denklemi kur.

Payda $x$ olsun; pay paydadan $4$ eksik: $x-4$ . Kesir $\dfrac{x-4}{x}$ .
Eşitlik: $\dfrac{x-4}{x}=\dfrac{3}{5}$ .
İçler–dışlar çarpımı: $5(x-4)=3x$ .
Dağıt: $5x-20=3x$ , buradan $2x=20$ ve $x=10$ .
Kesir: $\dfrac{x-4}{x}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$ .
Doğrulama: $\dfrac{6}{10}$ sadeleşince $\dfrac{3}{5}$ olur. ✓

Sonuç: Kesir

\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}

'tir.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir sayının $4$ katından $9$ çıkarıldığında sonuç $23$ oluyor. Bu sayı kaçtır?

Sayı $x$ olsun: $4x-9=23$ .
$9$ 'u karşıya at: $4x=32$ .
Her iki tarafı $4$ 'e böl: $x=8$ .
Doğrulama: $4\cdot 8-9=32-9=23$ . ✓

Sonuç: Sayı

8

'dir.

Örnek

Soru

Ardışık üç çift sayının toplamı $48$ ise en küçük sayı kaçtır?

En küçük çift sayı $x$ olsun; ardışık çift sayılar $x,\ x+2,\ x+4$ 'tür.
Toplamları $48$ : $x+(x+2)+(x+4)=48$ .
Sadeleştir: $3x+6=48$ , yani $3x=42$ ve $x=14$ .
Sayılar $14,\ 16,\ 18$ ; en küçüğü $14$ 'tür.
Doğrulama: $14+16+18=48$ , üçü de çift. ✓

Sonuç: En küçük sayı

14

'tür.

Örnek

Soru

İki sayının farkı $12$ , büyük sayı küçük sayının $3$ katıdır. Buna göre büyük sayı kaçtır?

Küçük sayı $x$ olsun; büyük sayı $3x$ .
Farkları $12$ : $3x-x=12$ .
Sadeleştir: $2x=12$ , buradan $x=6$ .
Büyük sayı: $3x=3\cdot 6=18$ .
Doğrulama: $18-6=12$ ve $18=3\cdot 6$ . ✓

Sonuç: Büyük sayı

18

'dir.

Örnek

Soru

Bir sayının $\dfrac{3}{4}$ 'ü, aynı sayının $\dfrac{1}{2}$ 'sinden $5$ fazladır. Bu sayı kaçtır?

Sayı $x$ olsun: $\dfrac{3}{4}x=\dfrac{1}{2}x+5$ .
Her iki tarafı $4$ ile çarp: $3x=2x+20$ .
$2x$ 'i karşıya at: $x=20$ .
Doğrulama: $\dfrac{3}{4}\cdot 20=15$ ve $\dfrac{1}{2}\cdot 20+5=10+5=15$ . ✓

Sonuç: Sayı

20

'dir.

Örnek

Soru

Bir babanın yaşı oğlunun yaşının $4$ katıdır. İkisinin yaşları toplamı $45$ olduğuna göre babanın yaşı kaçtır?

Oğlun yaşı $x$ olsun; baba $4x$ .
Toplamları $45$ : $x+4x=45$ .
Topla: $5x=45$ , buradan $x=9$ .
Baba: $4x=4\cdot 9=36$ .
Doğrulama: $9+36=45$ ve $36=4\cdot 9$ . ✓

Sonuç: Babanın yaşı

36

'dır.

Örnek

Soru

Bir kesrin payı ile paydasının toplamı $28$ 'dir. Kesir $\dfrac{3}{4}$ 'e eşit olduğuna göre kesrin payı kaçtır?

Pay $3k$ , payda $4k$ biçiminde alınabilir; toplamları $28$ olur.

Kesir $\dfrac{3}{4}$ olduğundan pay $3k$ , payda $4k$ olsun.
Toplamları $28$ : $3k+4k=28$ .
Sadeleştir: $7k=28$ , buradan $k=4$ .
Pay: $3k=3\cdot 4=12$ (payda $4k=16$ ).
Doğrulama: $12+16=28$ ve $\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$ . ✓

Sonuç: Kesrin payı

12

'dir.

Örnek

Soru

Bir sayının $\dfrac{1}{3}$ 'ü ile $\dfrac{1}{4}$ 'ünün farkı $6$ ise bu sayının $\dfrac{1}{2}$ 'si kaçtır?

Önce sayıyı bul: paydaları eşitlemek için ortak payda $12$ kullan; sonra yarısını al.

Sayı $x$ olsun: $\dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{4}=6$ .
Ortak payda $12$ : $\dfrac{4x}{12}-\dfrac{3x}{12}=6$ .
Payları çıkar: $\dfrac{x}{12}=6$ , buradan $x=72$ .
İstenen $\dfrac{1}{2}$ 'si: $\dfrac{72}{2}=36$ .
Doğrulama: $\dfrac{72}{3}-\dfrac{72}{4}=24-18=6$ , yarısı $36$ . ✓

Sonuç: Sayının yarısı

36

'dır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Ardışık üç tek sayının toplamı $45$ 'tir. Bu sayıların en büyüğü kaçtır?

A) $13$ · B) $15$ · C) $17$ · D) $19$ · E) $21$

Ardışık tek sayılar $x,\ x+2,\ x+4$ biçiminde yazılır.
Toplam denklemi: $x+(x+2)+(x+4)=45\Rightarrow 3x+6=45$ .
$3x=39\Rightarrow x=13$ . En büyük sayı: $x+4=17$ .

Sonuç: C)

17

Örnek

Soru

Bir sayının $\dfrac{1}{2}$ 'si ile $\dfrac{1}{3}$ 'ünün farkı $6$ 'dır. Bu sayının yarısı kaçtır?

A) $15$ · B) $16$ · C) $17$ · D) $18$ · E) $20$

Sayı $x$ olsun: $\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{3}=6$ .
Ortak payda $6$ : $\dfrac{3x}{6}-\dfrac{2x}{6}=6\Rightarrow \dfrac{x}{6}=6$ .
$x=36$ . Yarısı: $\dfrac{36}{2}=18$ .

Sonuç: D)

18

Örnek

Soru

İki basamaklı bir sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayı $27$ artıyor. Rakamların toplamı $9$ ise bu sayı kaçtır?

A) $36$ · B) $45$ · C) $54$ · D) $63$ · E) $72$

Sayıyı $\overline{ab}=10a+b$ yaz. Yer değiştirince $\overline{ba}=10b+a$ olur; fark $27$ 'dir.

Sayı $10a+b$ , yer değiştirince $10b+a$ . Fark: $(10b+a)-(10a+b)=9b-9a=9(b-a)=27$ .
$b-a=3$ . Rakamlar toplamı: $a+b=9$ .
Denklemleri topla: $2b=12\Rightarrow b=6$ , $a=3$ . Sayı: $36$ .

Sonuç: A)

36

Örnek

Soru

Bir manavda bir kasa elmanın önce $\dfrac{2}{5}$ 'i, ardından $\dfrac{3}{10}$ 'u satılıyor. Kasada satılmadan $24$ kg elma kaldığına göre kasadaki elma başlangıçta kaç kg'dı?

A) $60$ · B) $72$ · C) $80$ · D) $90$ · E) $96$

Satılan kesir $\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}$ 'dur. Kalan oran $1$ 'den bu toplamı çıkararak bulunur; bu kalan $24$ kg'a eşittir.

Satılan oran: $\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{4}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10}$ .
Kalan oran: $1-\dfrac{7}{10}=\dfrac{3}{10}$ ; bu kesir $24$ kg'a karşılık gelir.
Toplam $x$ olsun: $\dfrac{3}{10}x=24\Rightarrow x=24\cdot\dfrac{10}{3}=80$ .
Doğrulama: $\dfrac{7}{10}\cdot 80=56$ kg satılır, $80-56=24$ kg kalır. ✓

Sonuç: C)

80

Örnek

Soru

İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı $12$ 'dir. Onlar basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın $2$ katı olduğuna göre bu sayı kaçtır?

A) $39$ · B) $48$ · C) $66$ · D) $84$ · E) $93$

Birler rakamına $b$ dersen onlar rakamı $2b$ olur; rakamlar toplamı $2b+b=12$ .

Birler rakamı $b$ , onlar rakamı $2b$ olsun. Toplam: $2b+b=3b=12\Rightarrow b=4$ .
Onlar rakamı $2b=8$ , birler rakamı $4$ . Sayı: $84$ .

Sonuç: D)

84

Örnek

Soru

Bir kumbarada $5$ TL'lik ve $10$ TL'lik toplam $24$ banknot vardır ve toplam para $185$ TL'dir. Buna göre kumbarada kaç tane $10$ TL'lik banknot vardır?

A) $11$ · B) $12$ · C) $13$ · D) $14$ · E) $15$

$10$ TL'lik sayısına $x$ dersen $5$ TL'lik sayısı $24-x$ olur; toplam para denklemini kur.

$10$ TL'lik sayısı $x$ , $5$ TL'lik sayısı $24-x$ olsun.
Toplam para: $10x+5(24-x)=185$ .
Dağıt: $10x+120-5x=185\Rightarrow 5x=65\Rightarrow x=13$ .

Sonuç: C)

13

Sık Yapılan Hatalar

Sözel ifadeyi yanlış çevirmek: " $3$ fazlası" ( $x+3$ ) ile " $3$ katı" ( $3x$ ) karıştırılır. Her kelimeyi tek tek matematiğe çevirip kontrol et.
Kesirli denklemde paydaları eşitlememek: $\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3}$ ifadesini doğrudan $\dfrac{x}{5}$ sanmak yaygın hatadır. Önce ortak payda al.
Ardışık tek/çift sayıları $x,\ x+1$ yazmak: Tek ve çift sayılar ikişer artar; doğrusu $x,\ x+2$ 'dir.
Bilinmeyeni yanlış büyüklüğe atamak: Birden çok sayıda, bilinmeyeni en sade (genelde en küçük) büyüklüğe ata; diğerlerini onun cinsinden yaz.

Sınav İpucu

Bilinmeyeni en sade büyüklüğe ata; "biri diğerinin katı" türü ifadelerde küçük sayıya $x$ demek işlemleri kısaltır.
Cümleyi parça parça matematiğe çevir, sonra denklemi tek seferde kur; baştan sona okumadan denklem yazmaya kalkma.
Çözüm bittiğinde sonucu yerine koyarak doğrula; TYT'de bu kontrol, çeldiriciye düşmeni önler ve birkaç saniyede yapılır.

1. Sözel İfadeyi Denkleme Çevirme

2. Sayı Problemleri

3. Kesir Problemleri

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular