çözümebak

TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Yüzde, Kâr-Zarar ve Faiz Problemleri

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Yüzde, kâr-zarar ve faiz; TYT'nin her yıl tekrar eden, hesaplaması basit ama tuzakları çok olan konularıdır. İşin sırrı yüzdeleri çarpan olarak görmektir: \%20 artış \times 1{,}2, \%20 azalış \times 0{,}8 demektir. Bu mantıkla zam, indirim, kâr ve basit faiz problemlerinin tamamını tek bir bakış açısıyla çözeceğiz.

1. Yüzde Hesabı

Bir x sayısının \%a'sı, o sayının \dfrac{a}{100} katıdır:

x \text{ sayısının } \%a\text{'sı} = \dfrac{a}{100}\cdot x

Yüzdeleri kesirle eşleştirmek hesabı hızlandırır:

\%20=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5},\qquad \%25=\dfrac{1}{4},\qquad \%50=\dfrac{1}{2},\qquad \%10=\dfrac{1}{10}

Örneğin 200 sayısının \%15'i:

\dfrac{15}{100}\cdot 200=\dfrac{3000}{100}=30

2. Zam (Artış) ve İndirim (Azalış)

Bir değere \%a zam yapılırsa yeni değer, eski değerin \left(1+\dfrac{a}{100}\right) katı; \%a indirim yapılırsa \left(1-\dfrac{a}{100}\right) katı olur:

\text{Zam: } x\cdot\left(1+\dfrac{a}{100}\right),\qquad \text{İndirim: } x\cdot\left(1-\dfrac{a}{100}\right)

İşlemÇarpan
\%20 zam1{,}20
\%25 zam1{,}25
\%20 indirim0{,}80
\%25 indirim0{,}75

Püf noktası: "Zamdan önceki fiyat" sorularında \%20'yi çıkarmaya çalışma; yeni fiyatı çarpana böl. Çünkü zam, eski fiyat üzerinden hesaplanır.

3. Ardışık Zam ve İndirim

Birden çok yüzde değişimi üst üste gelirse yüzdeler toplanmaz; çarpanlar çarpılır. Önce \%20 zam, sonra \%20 indirim yapılan bir fiyat için:

1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96

Sonuç ilk fiyatın \%96'sıdır; yani toplamda \%4 azalma olur. "Zam ve indirim eşit, fiyat değişmez" demek yanlıştır.

4. Kâr ve Zarar

Bir malın maliyeti (alış fiyatı) ile satış fiyatı arasındaki fark kâr ya da zarardır:

\text{Kâr}=\text{Satış}-\text{Maliyet},\qquad \text{Zarar}=\text{Maliyet}-\text{Satış}

TYT'de kâr/zarar yüzdesi, aksi belirtilmedikçe maliyet üzerinden hesaplanır:

\text{Kâr \%}=\dfrac{\text{Kâr}}{\text{Maliyet}}\cdot 100,\qquad \text{Zarar \%}=\dfrac{\text{Zarar}}{\text{Maliyet}}\cdot 100

Buna göre \%25 kârla satış demek, satış fiyatının maliyetin 1{,}25 katı olması demektir.

5. Basit Faiz

Basit faizde faiz, her dönem yalnızca anapara üzerinden hesaplanır (kazanılan faiz tekrar faiz getirmez). Faiz oranı yıllık ve zaman yıl cinsinden ise:

\text{Faiz}=\dfrac{\text{Anapara}\cdot \text{faiz oranı}(\%)\cdot \text{zaman}}{100}

Vade sonunda toplam birikim, anapara ile faizin toplamıdır. Zaman ay olarak verilirse yıla çevrilir: 6 ay =\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2} yıl.

Örnek
Soru

200 sayısının \%15'i kaçtır?

  1. Yüzde formülünü uygula: \dfrac{15}{100}\cdot 200.

  2. Sadeleştir: \dfrac{15\cdot 200}{100}=\dfrac{3000}{100}=30.

Sonuç: 200 sayısının \%15'i 30'dur.
Örnek
Soru

Bir ürüne \%20 zam yapılınca fiyatı 240 TL oluyor. Zamdan önceki fiyat kaç TL'dir?

Zam, eski fiyat üzerinden yapılır. Eski fiyat x ise yeni fiyat 1{,}2\cdot x olur. 240 TL'den \%20 çıkarma; 1{,}2'ye böl.

  1. Eski fiyat x olsun; \%20 zamlı fiyat 1{,}2\cdot x'tir.

  2. Denklemi kur: 1{,}2\cdot x=240.

  3. Çöz: x=\dfrac{240}{1{,}2}=200.

Sonuç: Zamdan önceki fiyat 200 TL'dir.
Örnek
Soru

Maliyeti 80 TL olan bir ürün \%25 kârla satılıyor. Satış fiyatı ve kâr kaç TL'dir?

  1. \%25 kâr, çarpan olarak 1{,}25 demektir: Satış =80\cdot 1{,}25.

  2. Hesapla: 80\cdot 1{,}25=100 TL.

  3. Kârı bul: \text{Kâr}=\text{Satış}-\text{Maliyet}=100-80=20 TL.

Sonuç: Satış fiyatı 100 TL, kâr 20 TL'dir.
Örnek
Soru

Bir mala önce \%20 zam, sonra \%20 indirim yapılıyor. Son fiyat, ilk fiyatın yüzde kaçıdır?

Ardışık değişimlerde yüzdeleri toplama; çarpanları çarp. \%20 zam =1{,}2, \%20 indirim =0{,}8.

  1. İlk fiyat x olsun. \%20 zamdan sonra: 1{,}2\cdot x.

  2. Bu fiyata \%20 indirim: 1{,}2\cdot x\cdot 0{,}8.

  3. Çarpanları çarp: 1{,}2\cdot 0{,}8=0{,}96, yani son fiyat 0{,}96\cdot x.

  4. Demek ki son fiyat ilk fiyatın \%96'sıdır; toplamda \%4 azalma vardır.

Sonuç: Son fiyat, ilk fiyatın \%96'sıdır (\%4 azalma).
Örnek
Soru

1000 TL, yıllık \%10 basit faizle 2 yıl yatırılıyor. Elde edilen faiz ve vade sonundaki toplam kaç TL'dir?

  1. Basit faiz formülünü yaz: \text{Faiz}=\dfrac{\text{Anapara}\cdot \text{oran}\cdot \text{zaman}}{100}.

  2. Değerleri yerine koy: \text{Faiz}=\dfrac{1000\cdot 10\cdot 2}{100}.

  3. Hesapla: \dfrac{20000}{100}=200 TL.

  4. Toplamı bul: 1000+200=1200 TL.

Sonuç: Faiz 200 TL, vade sonu toplam 1200 TL'dir.
Örnek
Soru

Bir ürün 150 TL'ye alınıp 120 TL'ye satılıyor. Zarar yüzdesi kaçtır?

Zarar yüzdesi maliyet üzerinden hesaplanır: \dfrac{\text{Zarar}}{\text{Maliyet}}\cdot 100.

  1. Zararı bul: \text{Zarar}=\text{Maliyet}-\text{Satış}=150-120=30 TL.

  2. Maliyete oranla: \dfrac{30}{150}=\dfrac{1}{5}.

  3. Yüzdeye çevir: \dfrac{1}{5}=\%20.

Sonuç: Zarar yüzdesi \%20'dir.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

360 sayısının \%35'i kaçtır?

  1. Yüzde formülünü uygula: \dfrac{35}{100}\cdot 360.

  2. Hesapla: \dfrac{35\cdot 360}{100}=\dfrac{12600}{100}=126.

Sonuç: 360 sayısının \%35'i 126'dır.
Örnek
Soru

Fiyatı 480 TL olan bir ürüne \%15 indirim yapılıyor. İndirimli fiyat kaç TL'dir?

  1. \%15 indirim, çarpan olarak 1-0{,}15=0{,}85 demektir.

  2. Yeni fiyat: 480\cdot 0{,}85.

  3. Hesapla: 480\cdot 0{,}85=408 TL.

Sonuç: İndirimli fiyat 408 TL'dir.
Örnek
Soru

Maliyeti 240 TL olan bir ürün \%30 zararla satılıyor. Satış fiyatı kaç TL'dir?

  1. \%30 zarar, çarpan olarak 1-0{,}30=0{,}70 demektir: Satış =240\cdot 0{,}70.

  2. Hesapla: 240\cdot 0{,}70=168 TL.

Sonuç: Satış fiyatı 168 TL'dir.
Örnek
Soru

Bir mala önce \%50 zam, sonra \%20 indirim yapılıyor. Son fiyat ilk fiyatın yüzde kaçıdır?

Ardışık değişimlerde çarpanları çarp. \%50 zam =1{,}5, \%20 indirim =0{,}8.

  1. İlk fiyat x olsun. \%50 zamdan sonra: 1{,}5\cdot x.

  2. Bu fiyata \%20 indirim: 1{,}5\cdot x\cdot 0{,}8.

  3. Çarpanları çarp: 1{,}5\cdot 0{,}8=1{,}2, yani son fiyat 1{,}2\cdot x.

  4. Demek ki son fiyat ilk fiyatın \%120'sidir; toplamda \%20 artış vardır.

Sonuç: Son fiyat, ilk fiyatın \%120'sidir (\%20 artış).
Örnek
Soru

2500 TL, yıllık \%12 basit faizle 8 ay süreyle yatırılıyor. Vade sonundaki toplam birikim kaç TL'dir?

Faiz oranı yıllık, süre ay olarak verilmiş. Önce ayı yıla çevir: 8 ay =\dfrac{8}{12} yıl.

  1. Basit faiz formülünü yaz: \text{Faiz}=\dfrac{\text{Anapara}\cdot \text{oran}\cdot \text{zaman}}{100}.

  2. Zamanı yıla çevir: 8 ay =\dfrac{8}{12} yıl.

  3. Değerleri yerine koy: \text{Faiz}=\dfrac{2500\cdot 12\cdot \frac{8}{12}}{100}=\dfrac{2500\cdot 8}{100}=200 TL.

  4. Toplamı bul: 2500+200=2700 TL.

Sonuç: Vade sonu toplam birikim 2700 TL'dir.
Örnek
Soru

Bir esnaf bir ürünü \%20 kârla 480 TL'ye satıyor. Bu ürünün maliyeti kaç TL'dir?

\%20 kâr, satışın maliyetin 1{,}2 katı olması demektir. Maliyeti bulmak için satışı çarpana böl.

  1. Maliyet m olsun; \%20 kârlı satış 1{,}2\cdot m'dir.

  2. Denklemi kur: 1{,}2\cdot m=480.

  3. Çöz: m=\dfrac{480}{1{,}2}=400 TL.

Sonuç: Ürünün maliyeti 400 TL'dir.
Örnek
Soru

Bir miktar para yıllık \%15 basit faizle 2 yıl yatırıldığında 1800 TL faiz getiriyor. Yatırılan anapara kaç TL'dir?

Basit faiz formülünde bilinmeyen anaparadır. Faizi, oranı ve zamanı yerine koyup denklemi anapara için çöz.

  1. Basit faiz formülünü yaz: \text{Faiz}=\dfrac{\text{Anapara}\cdot \text{oran}\cdot \text{zaman}}{100}.

  2. Bilinenleri yerine koy: 1800=\dfrac{A\cdot 15\cdot 2}{100}.

  3. Sadeleştir: 1800=\dfrac{30A}{100}=0{,}3\cdot A.

  4. Çöz: A=\dfrac{1800}{0{,}3}=6000 TL.

Sonuç: Yatırılan anapara 6000 TL'dir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir ürün \%25 kârla satıldığında 500 TL gelir elde ediliyor. Bu ürünün maliyeti kaç TL'dir?

A) 350 · B) 375 · C) 400 · D) 425 · E) 450

  1. Maliyet M olsun. \%25 kârla satış fiyatı 1{,}25M=500.

  2. M=\dfrac{500}{1{,}25}=400 TL.

Sonuç: C) 400
Örnek
Soru

Bir mağaza etiket fiyatına önce \%20 indirim, ardından indirimli fiyata \%10 zam uyguluyor. Etiket fiyatı 200 TL olan bir ürünün son satış fiyatı kaç TL'dir?

A) 168 · B) 172 · C) 176 · D) 180 · E) 184

  1. İndirim: 200\cdot 0{,}8=160 TL.

  2. Zam: 160\cdot 1{,}1=176 TL.

Sonuç: C) 176
Örnek
Soru

Bir miktar para yıllık \%12 basit faizle 3 yıl yatırıldığında 1080 TL faiz getiriyor. Yatırılan anapara kaç TL'dir?

A) 2500 · B) 2800 · C) 3000 · D) 3200 · E) 3600

Basit faiz formülü: \text{Faiz}=\dfrac{\text{Anapara}\cdot \text{oran}\cdot \text{zaman}}{100}.

  1. 1080=\dfrac{A\cdot 12\cdot 3}{100}=\dfrac{36A}{100}.

  2. A=\dfrac{1080\cdot 100}{36}=3000 TL.

Sonuç: C) 3000
Örnek
Soru

Bir markette bir ürünün fiyatına önce \%20 zam yapılıyor, bir hafta sonra yeni fiyat üzerinden \%25 indirim uygulanıyor. Bu iki işlem sonunda ürünün ilk fiyatına göre net değişimi nedir?

A) \%5 artış · B) Değişmez · C) \%5 azalış · D) \%10 azalış · E) \%45 artış

Ardışık değişimlerde çarpanları çarp: \%20 zam =1{,}2, \%25 indirim =0{,}75.

  1. İlk fiyat x olsun. \%20 zam: 1{,}2x. Üzerine \%25 indirim: 1{,}2x\cdot 0{,}75.

  2. Çarpanları çarp: 1{,}2\cdot 0{,}75=0{,}90, yani son fiyat 0{,}90x.

  3. Son fiyat ilk fiyatın \%90'ı; net \%10 azalış vardır.

Sonuç: D) \%10 azalış
Örnek
Soru

Bir esnaf, maliyeti M olan bir ürünü maliyetinin \%50 fazlasına etiketliyor; ancak müşteriye etiket fiyatından \%20 indirim yapıyor. Esnafın bu satıştan elde ettiği kâr, maliyetin yüzde kaçıdır?

A) \%10 · B) \%15 · C) \%20 · D) \%25 · E) \%30

Etiket =1{,}5M, satış = etiket \times 0{,}8. Kâr = satış - maliyet, sonra maliyete oranla.

  1. Etiket fiyatı: 1{,}5M. İndirimli satış: 1{,}5M\cdot 0{,}8=1{,}2M.

  2. Kâr: 1{,}2M-M=0{,}2M.

  3. Kâr yüzdesi: \dfrac{0{,}2M}{M}\cdot 100=\%20.

Sonuç: C) \%20
Örnek
Soru

4000 TL, yıllık \%18 basit faizle 5 ay süreyle yatırılıyor. Vade sonundaki toplam birikim kaç TL'dir?

A) 4250 · B) 4300 · C) 4360 · D) 4500 · E) 4720

Faiz oranı yıllık, süre ay verilmiş: önce 5 ayı \dfrac{5}{12} yıla çevir.

  1. Basit faiz: \text{Faiz}=\dfrac{\text{Anapara}\cdot \text{oran}\cdot \text{zaman}}{100}, zaman =\dfrac{5}{12} yıl.

  2. Yerine koy: \text{Faiz}=\dfrac{4000\cdot 18\cdot \frac{5}{12}}{100}=\dfrac{4000\cdot 18\cdot 5}{1200}=\dfrac{360000}{1200}=300 TL.

  3. Toplam: 4000+300=4300 TL.

Sonuç: B) 4300

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular