Oran ve Orantı

Oran ve orantı, TYT'nin en çok soru çıkan, en kazançlı konularından biridir; problemler, yüzde, karışım ve hız–zaman sorularının da temelini kurar. Mantığı tek cümleyle özetlenir: iki çokluğu bölerek karşılaştırır (oran), iki oranın eşitliğini kurar (orantı) ve çoklukların birlikte mi yoksa ters yönde mi değiştiğine bakarsın. Bu sayfa, içler-dışlar çarpımından doğru ve ters orantıya, oran paylaştırmadan zincirleme oranlara kadar tüm zemini kurar.

1. Oran

Oran, iki çokluğun bölme ile karşılaştırılmasıdır. a ve b çoklukları için oran \dfrac{a}{b} ya da a:b biçiminde yazılır (b\ne 0).

İki temel kural:

• Oranı kurduğun çoklukların aynı birimde olması gerekir. 2 saat ile 30 dakikayı oranlarken ikisini de dakikaya çevir: \dfrac{120}{30}=4.
• Oran birimsizdir; bir sayıdır. "3:5" demek, birinci çokluğun 3 birim, ikincisinin 5 birim olduğu (yani \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{5}) anlamına gelir.

Bir oranı pay ve paydasını aynı sayı ile çarpıp bölersek değeri değişmez: \dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3k}{5k}. Bu yüzden a:b=3:5 ise a=3k,\ b=5k yazmak en güçlü tekniktir.

2. Orantı ve İçler–Dışlar Çarpımı

Orantı, iki oranın eşitliğidir:

\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}

Burada a ve d dışlar, b ve c içler olarak adlandırılır. Bu eşitlikte içler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir (içler–dışlar çarpımı):

\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\;\Longleftrightarrow\; a\cdot d=b\cdot c

Bir orantıda bilinmeyen tek terim varsa, içler–dışlar çarpımı onu doğrudan çözer.

3. Doğru Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa (ya da biri azalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa) bu çokluklar doğru orantılıdır. Doğru orantıda oranları sabittir:

\dfrac{y}{x}=k \quad(k\text{ sabit, orantı sabiti})

Yani x iki katına çıkarsa y de iki katına çıkar. Birim fiyat, 1 işçinin yaptığı iş, sabit hızda alınan yol gibi durumlar doğru orantılıdır.

4. Ters Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. Ters orantıda çarpımları sabittir:

x\cdot y=k \quad(k\text{ sabit})

Yani x iki katına çıkarsa y yarıya iner. İşçi sayısı–iş süresi, hız–zaman (sabit yolda) klasik ters orantı örnekleridir: daha çok işçi → daha kısa süre.

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Sık Yapılan Hatalar

• Doğru orantı ile ters orantıyı karıştırmak. "İşçi sayısı artınca süre azalır" gibi açıkça ters orantılı durumda doğru orantı kurmak (ör. \dfrac{6}{10}=\dfrac{4}{t}) en sık yapılan hatadır. Önce yön kontrolü yap: çoklukların biri artarken diğeri artıyor mu, azalıyor mu?
• Birimleri eşitlememek. 2 saat ile 30 dakikayı oranlarken birini çevirmeden \dfrac{2}{30} yazmak yanlıştır; ikisini de aynı birime getir.
• Oranı doğrudan değer sanmak. a:b=3:5 ifadesi a=3,\ b=5 demek değildir; a=3k,\ b=5k demektir. Ek koşul (a+b, a-b vb.) olmadan a ve b tek tek bulunamaz.

Sınav İpucu

• Yön testi: "Biri artarken diğeri de artıyorsa" doğru orantı kur (oranları eşitle: \dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}). "Biri artarken diğeri azalıyorsa" ters orantı kur (çarpımları eşitle: x_1 y_1=x_2 y_2).
• Klasik ters orantılar: işçi sayısı–süre, hız–zaman (sabit yolda), musluk sayısı–doldurma süresi. Soruda bunları görünce refleksle çarpımı sabit tut.
• Oran paylaştırma sorularında her zaman ortak k tekniğini kullan: a:b:c=p:q:r ise a=pk,\ b=qk,\ c=rk yaz, toplamdan k'yi çek. Bu yöntem işlemi hızlandırır ve hata payını düşürür.