11. Sınıf · Trigonometri
Toplam-Fark ve İki Kat Açı Formülleri
İki açının toplamının ya da farkının sinüs ve kosinüsü, açıların kendi değerleriyle yazılabilir. Bu derste toplam-fark formüllerini (\sin(a\pm b), \cos(a\pm b), \tan(a\pm b)), bunların özel bir hali olan iki kat açı formüllerini (\sin 2a, \cos 2a, \tan 2a) öğreneceğiz ve bunlarla bilinmeyen açıların değerlerini (\sin 75° gibi) hesaplayacağız. Bu formüller, trigonometrik denklemlerin ve özdeşliklerin de anahtarıdır.
1. Toplam-Fark Formülleri
İki açının toplam ve farkı için temel formüller:
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b
\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b
Dikkat: kosinüste işaret terstir (toplamda eksi, farkta artı); sinüste ise aynıdır.
\cos(a-b) formülünü kullanarak \cos 30° değerini, a=90°, b=60° alarak doğrulayınız.
\cos(90°-60°)=\cos 90°\cos 60°+\sin 90°\sin 60°.=0\cdot\dfrac12+1\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}.- Gerçekten
\cos 30°=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\dfrac{\sqrt3}{2}, doğrulanır.2. Bilinmeyen Açı Değerleri
Bir açıyı, değerlerini bildiğimiz iki açının toplam/farkı olarak yazarsak değerini buluruz. Örneğin 75°=45°+30°, 15°=45°-30°.
\sin 75° değerini bulunuz.
75°=45°+30° yaz ve \sin(a+b) formülünü uygula.
\sin 75°=\sin(45°+30°)=\sin 45°\cos 30°+\cos 45°\sin 30°.=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}.=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.
\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.3. Tanjant Toplam-Fark Formülü
Tanjant için formüller:
\tan(a+b)=\dfrac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b} \qquad \tan(a-b)=\dfrac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}
\tan 75° değerini bulunuz.
75°=45°+30°; \tan 45°=1, \tan 30°=\dfrac{\sqrt3}{3}.
\tan 75°=\dfrac{\tan 45°+\tan 30°}{1-\tan 45°\tan 30°}=\dfrac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}}.- Pay ve paydayı
3ile çarp:\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}. - Paydayı rasyonel yap (eşlenik
3+\sqrt3):\dfrac{(3+\sqrt3)^2}{(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)}=\dfrac{9+6\sqrt3+3}{9-3}=\dfrac{12+6\sqrt3}{6}=2+\sqrt3.
2+\sqrt3.4. İki Kat Açı Formülleri
Toplam formülünde b=a alırsak iki kat açı formüllerini elde ederiz:
\sin 2a=2\sin a\cos a
\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a
\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2 a}
\cos 2a'nın üç biçimi de aynı değeri verir; soruya göre en uygununu seçeriz.
\sin a=\dfrac35 ve a I. bölgede ise \sin 2a kaçtır?
\cos a=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\dfrac45(I. bölge, pozitif).\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot\dfrac35\cdot\dfrac45=\dfrac{24}{25}.
\dfrac{24}{25}.\cos a=\dfrac13 ise \cos 2a kaçtır?
Yalnız \cos a verildiği için \cos 2a=2\cos^2 a-1 biçimini seç.
\cos 2a=2\cos^2 a-1=2\cdot\dfrac19-1=\dfrac29-1=-\dfrac79.
-\dfrac79.Çözümlü Örnekler
\cos 15° değerini bulunuz.
15°=45°-30°;\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.\cos 15°=\cos 45°\cos 30°+\sin 45°\sin 30°=\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac12.=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.
\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.\sin 40°\cos 20°+\cos 40°\sin 20° ifadesinin değerini bulunuz.
Bu ifade tam olarak \sin(a+b) açılımıdır; a=40°, b=20°.
- Kalıp
\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin bile aynı. =\sin(40°+20°)=\sin 60°=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\dfrac{\sqrt3}{2}.\cos 50°\cos 10°-\sin 50°\sin 10° ifadesinin değerini bulunuz.
- Kalıp
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin bile aynı. =\cos(50°+10°)=\cos 60°=\dfrac12.
\dfrac12.\sin a=\dfrac45 ve a II. bölgede ise \cos 2a kaçtır?
Yalnız \sin a ile çalışmak için \cos 2a=1-2\sin^2 a biçimini seç; II. bölge bilgisi bu formülde gerekmez.
\cos 2a=1-2\sin^2 a=1-2\cdot\dfrac{16}{25}=1-\dfrac{32}{25}=-\dfrac{7}{25}.
-\dfrac{7}{25}.2\sin 15°\cos 15° ifadesinin değerini bulunuz.
2\sin a\cos a=\sin 2a formülünü tersten kullan.
2\sin 15°\cos 15°=\sin(2\cdot 15°)=\sin 30°.\sin 30°=\dfrac12.
\dfrac12.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
\sin 25°\cos 5°+\cos 25°\sin 5° değerini bul.
=\sin(25°+5°)=\sin 30°=\dfrac12.
\dfrac12.\cos 70°\cos 10°+\sin 70°\sin 10° değerini bul.
- Kalıp
\cos(a-b):=\cos(70°-10°)=\cos 60°=\dfrac12.
\dfrac12.\sin a=\dfrac{5}{13} ve a I. bölgede ise \sin 2a kaçtır?
\cos a=\dfrac{12}{13}(I. bölge).\sin 2a=2\cdot\dfrac{5}{13}\cdot\dfrac{12}{13}=\dfrac{120}{169}.
\dfrac{120}{169}.\dfrac{2\tan 22{,}5°}{1-\tan^2 22{,}5°} ifadesinin değerini bul.
- Kalıp
\tan 2a:a=22{,}5°. =\tan(2\cdot 22{,}5°)=\tan 45°=1.
1.\cos^2 15°-\sin^2 15° ifadesinin değerini bul.
- Kalıp
\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a:a=15°. =\cos 30°=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\dfrac{\sqrt3}{2}.\sin 105° değerini bul.
105°=60°+45°;\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b.=\sin 60°\cos 45°+\cos 60°\sin 45°=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}+\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}.=\dfrac{\sqrt6}{4}+\dfrac{\sqrt2}{4}=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.
\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.\cos a=\dfrac{3}{5} ve a IV. bölgede ise \sin 2a kaçtır?
\sin 2a=2\sin a\cos a için önce \sin a'yı bul; IV. bölgede sinüs negatiftir.
\sin^2 a=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}; IV. bölgede\sin a=-\dfrac45.\sin 2a=2\cdot\left(-\dfrac45\right)\cdot\dfrac35=-\dfrac{24}{25}.
-\dfrac{24}{25}.\tan a=2 ise \tan 2a kaçtır?
\tan 2a=\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2 a} formülüne \tan a=2 koy.
\tan 2a=\dfrac{2\cdot 2}{1-2^2}=\dfrac{4}{1-4}=\dfrac{4}{-3}=-\dfrac43.
-\dfrac43.\sin a=\dfrac35, a I. bölgede ve \cos b=\dfrac{5}{13}, b I. bölgede ise \cos(a+b) kaçtır?
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b. Önce \cos a ve \sin b'yi özdeşlikle bul (her ikisi de I. bölge, pozitif).
\cos a=\dfrac45(I. bölge);\sin b=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\dfrac{12}{13}(I. bölge).\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b=\dfrac45\cdot\dfrac{5}{13}-\dfrac35\cdot\dfrac{12}{13}.=\dfrac{20}{65}-\dfrac{36}{65}=-\dfrac{16}{65}.
-\dfrac{16}{65}.8\sin 15°\cos 15°\cos 30° ifadesinin değerini bul.
Önce 2\sin 15°\cos 15°=\sin 30° topla; sonra kalan çarpanları işle. \sin 30°\cos 30° için tekrar iki kat açı kullan.
8\sin 15°\cos 15°\cos 30°=4\cdot(2\sin 15°\cos 15°)\cdot\cos 30°=4\sin 30°\cos 30°.4\sin 30°\cos 30°=2\cdot(2\sin 30°\cos 30°)=2\sin 60°.2\sin 60°=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.
\sqrt3.Sık Yapılan Hatalar
- Kosinüs formülünde işareti karıştırmak.
\cos(a+b)'de ortada eksi,\cos(a-b)'de artı vardır — sinüsün tam tersi. \sin(a+b)=\sin a+\sin bsanmak. Sinüs ve kosinüs toplama üzerine dağılmaz; mutlaka formülü kullan.\cos 2abiçimini gereksiz zorlaştırmak. Elde yalnız\sin avarsa1-2\sin^2 a, yalnız\cos avarsa2\cos^2 a-1biçimini seç; gereksiz hesap yapma.- İki kat açıda bölge işaretini atlamak.
\sin 2aiçin\cos a'yı özdeşlikten çekerken açının bölgesine göre işaret seç.
Not:
75°,15°,105°gibi açıları gördüğünde refleksin onları45°\pm 30°ya da60°\pm 45°olarak yazmak olsun.2\sin a\cos a,\cos^2 a-\sin^2 a,\dfrac{2\tan a}{1-\tan^2 a}kalıplarını gördüğünde ise hemen iki kat açıyı tanı — bu kalıpları tersten okumak çoğu soruyu tek satıra indirir.