11. Sınıf · Trigonometri
Trigonometrik Denklemler
Bir trigonometrik denklem, bilinmeyeni bir açının trigonometrik oranının içinde olan denklemdir: \sin x=\dfrac12 gibi. Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğundan bu denklemlerin sonsuz çözümü vardır; bu derste temel trigonometrik denklemlerin (\sin x=a, \cos x=a, \tan x=a) genel çözümünü ve verilen bir aralıktaki çözüm kümesini bulmayı öğreneceğiz. Birim çember, hangi açıların aynı değeri verdiğini görmemizi sağlayacak.
1. \sin x = a Denklemi
\sin x=a (-1\le a\le 1) denkleminin birim çemberde ordinatı a olan iki noktası vardır (genelde). Bir özel çözüm \alpha ise, çözümler şöyledir:
x=\alpha+2k\pi \quad\text{ve}\quad x=(\pi-\alpha)+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}
\pi-\alpha ifadesi, aynı ordinatlı ikinci noktayı (II. bölge eşi) verir.
\sin x=a denkleminde, birim çemberde ordinatı a olan iki nokta çözüm verir: biri \alpha açısı, diğeri \pi-\alpha açısıdır.\sin x=\dfrac12 denkleminin genel çözümünü yazınız.
- Bir özel çözüm:
\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12, yani\alpha=\dfrac{\pi}{6}. - Genel çözüm:
x=\dfrac{\pi}{6}+2k\piveyax=\pi-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}.
x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi veya x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi.2. \cos x = a Denklemi
\cos x=a denkleminin çözümleri, birim çemberde apsisi a olan noktalardır; bunlar x ekseni etrafında simetriktir (\alpha ve -\alpha):
x=\pm\alpha+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}
\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2} denkleminin genel çözümünü yazınız.
- Bir özel çözüm:
\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt3}{2}, yani\alpha=\dfrac{\pi}{6}. - Genel çözüm:
x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}.
x=\pm\dfrac{\pi}{6}+2k\pi.3. \tan x = a Denklemi
Tanjant fonksiyonunun periyodu \pi olduğundan, bir özel çözüm \alpha ise çözümler \pi aralıklarla tekrarlanır:
x=\alpha+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}
\tan x=1 denkleminin genel çözümünü yazınız.
- Bir özel çözüm:
\tan\dfrac{\pi}{4}=1, yani\alpha=\dfrac{\pi}{4}. - Periyot
\pi:x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,k\in\mathbb{Z}.
x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi.4. Belirli Aralıkta Çözüm Kümesi
Çoğu soruda genel çözüm değil, [0,2\pi) gibi belirli bir aralıktaki çözümler istenir. Genel çözümden k'ya tam sayı değerleri verip aralığa düşenleri seçeriz.
\cos x=-\dfrac12 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
\cos negatif → II. ve III. bölge. Referans açı \dfrac{\pi}{3}'tür (\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12).
- Referans açı
\dfrac{\pi}{3}; kosinüs II ve III. bölgede negatiftir. - II. bölge:
x=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}. - III. bölge:
x=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}.
\left\{\dfrac{2\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}\right\}.Çözümlü Örnekler
2\sin x-1=0 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
- Denklemi sadeleştir:
\sin x=\dfrac12. - Sinüs pozitif → I ve II. bölge; referans açı
\dfrac{\pi}{6}. - I. bölge:
x=\dfrac{\pi}{6}; II. bölge:x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}.
\left\{\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}\right\}.\sqrt3\tan x-1=0 denkleminin [0,\pi) aralığındaki çözümünü bulunuz.
\tan x=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}.- Bu değeri
\tan\dfrac{\pi}{6}verir, yanix=\dfrac{\pi}{6}. [0,\pi)aralığında periyot\piolduğundan tek çözüm bu.
x=\dfrac{\pi}{6}.\cos x=1 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözümünü bulunuz.
Birim çemberde apsisi 1 olan tek nokta hangisidir?
- Apsisi
1olan nokta(1,0)'dır; bux=0açısına karşılık gelir. [0,2\pi)aralığında tek çözümx=0.
x=0.2\cos^2 x-1=0 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.
\cos^2 x'i yalnız bırak: \cos^2 x=\dfrac12\Rightarrow \cos x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}. Dört bölgenin tamamına bak.
\cos^2 x=\dfrac12\Rightarrow \cos x=\pm\dfrac{\sqrt2}{2}; referans açı\dfrac{\pi}{4}.\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}:x=\dfrac{\pi}{4}(I),x=\dfrac{7\pi}{4}(IV).\cos x=-\dfrac{\sqrt2}{2}:x=\dfrac{3\pi}{4}(II),x=\dfrac{5\pi}{4}(III).
\left\{\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}\right\}.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
\sin x=0 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
- Ordinatı
0olan noktalar:(1,0)ve(-1,0). - Açılar:
x=0vex=\pi.
\{0,\ \pi\}.\cos x=0 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
- Apsisi
0olan noktalar:(0,1)ve(0,-1). - Açılar:
x=\dfrac{\pi}{2}vex=\dfrac{3\pi}{2}.
\left\{\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}.\tan x=\sqrt3 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
\tan\dfrac{\pi}{3}=\sqrt3, yani referans açı\dfrac{\pi}{3}.- Tanjant I ve III. bölgede pozitiftir:
x=\dfrac{\pi}{3}vex=\pi+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{4\pi}{3}.
\left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{4\pi}{3}\right\}.\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2} denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
- Referans açı
\dfrac{\pi}{3}; sinüs I ve II. bölgede pozitif. x=\dfrac{\pi}{3}vex=\pi-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{2\pi}{3}.
\left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}\right\}.2\cos x+\sqrt3=0 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
\cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}; referans açı\dfrac{\pi}{6}, kosinüs II ve III. bölgede negatif.x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}vex=\pi+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{6}.
\left\{\dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{7\pi}{6}\right\}.\tan x=-1 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
- Referans açı
\dfrac{\pi}{4}; tanjant II ve IV. bölgede negatif. x=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}vex=2\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{7\pi}{4}.
\left\{\dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{7\pi}{4}\right\}.\sin 2x=\dfrac{\sqrt2}{2} denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
u=2x koy; x\in[0,2\pi) iken u\in[0,4\pi) olur. \sin u=\dfrac{\sqrt2}{2}'yi bu genişletilmiş aralıkta çöz, sonra x=\dfrac{u}{2} al.
u=2x,u\in[0,4\pi).\sin u=\dfrac{\sqrt2}{2}, referans açı\dfrac{\pi}{4}.[0,2\pi)içinde:u=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{3\pi}{4}. Bir tam tur ekle:u=\dfrac{9\pi}{4},\ \dfrac{11\pi}{4}.x=\dfrac{u}{2}:x=\dfrac{\pi}{8},\ \dfrac{3\pi}{8},\ \dfrac{9\pi}{8},\ \dfrac{11\pi}{8}.
\left\{\dfrac{\pi}{8},\ \dfrac{3\pi}{8},\ \dfrac{9\pi}{8},\ \dfrac{11\pi}{8}\right\}.2\sin^2 x-3\sin x+1=0 denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
t=\sin x koy; ikinci dereceden 2t^2-3t+1=0 denklemini çöz. Her t kökü için \sin x=t'yi geri çöz ve -1\le t\le 1 koşulunu kontrol et.
t=\sin x:2t^2-3t+1=0\Rightarrow (2t-1)(t-1)=0\Rightarrow t=\dfrac12veyat=1.\sin x=1:x=\dfrac{\pi}{2}.\sin x=\dfrac12:x=\dfrac{\pi}{6}vex=\dfrac{5\pi}{6}.
\left\{\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{5\pi}{6}\right\}.\cos 2x=\sin x denkleminin [0,2\pi) aralığındaki çözüm kümesini bul.
\cos 2x=1-2\sin^2 x özdeşliğiyle her şeyi \sin x cinsine çevir; t=\sin x ile ikinci dereceden denklem elde et.
\cos 2x=1-2\sin^2 xkoy:1-2\sin^2 x=\sin x.- Düzenle:
2\sin^2 x+\sin x-1=0.t=\sin x:2t^2+t-1=0\Rightarrow (2t-1)(t+1)=0\Rightarrow t=\dfrac12veyat=-1. \sin x=\dfrac12:x=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6}.\sin x=-1:x=\dfrac{3\pi}{2}.
\left\{\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}.Sık Yapılan Hatalar
- Tek çözümle yetinmek.
\sin x=ave\cos x=adenklemlerinin bir periyotta genelde iki çözümü vardır; ikinci bölgeyi unutma. - Genel çözümde periyodu karıştırmak.
\sinve\cosiçin2k\pi,\taniçink\pieklenir; tanjantın periyodu\pi'dir. - Aralık dönüşümünü atlamak.
\sin 2x=atürü denklemlerdeu=2xkoyunca aralık da[0,4\pi)'ye genişler; bu aralıktaki tüm çözümleri al, sonra ikiye böl. - Değer aralığını aşan kökü kabul etmek.
\sin x=tya da\cos x=t'detancak[-1,1]içindeyse çözüm verir; ikinci derece denklemden çıkan|t|>1kökünü ele.
Not: Her trigonometrik denklemde önce birim çemberde hangi bölgeler o değeri veriyor diye düşün; işaret sana bölgeleri, referans açı da o bölgelerdeki tam açıları söyler. Karmaşık denklemleri
t=\sin xgibi bir değişken değiştirmeyle cebirsel bir denkleme indir, sonra geri çöz.