çözümebak

11. Sınıf · Trigonometri

Trigonometrik Fonksiyonlar

~9 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Dik üçgende tanımladığımız sinüs, kosinüs ve tanjantı birim çember sayesinde her açıya genişletiyoruz: artık 0°–90° ile sınırlı değiliz. Bu derste birim çember üzerinde trigonometrik fonksiyonların tanımını, bölgelere göre işaretlerini, \sin x ve \cos x fonksiyonlarının grafiklerini, periyot kavramını ve temel özdeşlikleri öğreneceğiz. Bu fonksiyonlar; dalga, salınım ve dönme hareketinin matematiksel dilidir.

1. Birim Çemberle Tanım

Standart konumdaki x açısının terminal kenarı, birim çemberi P(\cos x,\ \sin x) noktasında keser. Yani:

\cos x = P\text{ noktasının apsisi}, \qquad \sin x = P\text{ noktasının ordinatı}

\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}\quad (\cos x\neq 0)

xyIIIIIIIVαPO
Şekil 1 — Birim çemberde \alpha açısının terminal kenarı çemberi P noktasında keser. P'nin apsisi \cos\alpha, ordinatı \sin\alpha'dır.

Birim çember -1\le\cos x\le 1 ve -1\le\sin x\le 1 olduğunu hemen gösterir: bir noktanın koordinatları yarıçapı (1) geçemez.

Örnek
Soru

\sin 90° ve \cos 180° değerlerini birim çemberden bulunuz.

  1. 90°'nin terminal kenarı (0,1) noktasından geçer; ordinat \sin 90°=1.
  2. 180°'nin terminal kenarı (-1,0) noktasından geçer; apsis \cos 180°=-1.
Sonuç: \sin 90°=1, \cos 180°=-1.

2. Bölgelere Göre İşaret

İşaret, P noktasının koordinatlarının işaretinden gelir. I. bölgede her şey pozitiftir; sonra sırayla sin, tan, cos pozitif kalır ("hepsi–sin–tan–cos").

xyIhepsi +IIsin +IIItan +IVcos +
Şekil 2 — Birim çemberde işaretler. I: hepsi +; II: yalnız \sin; III: yalnız \tan; IV: yalnız \cos pozitiftir.
Örnek
Soru

200° açısı için \sin 200° ve \cos 200°'nin işaretleri nedir?

  1. 200° III. bölgededir.
  2. III. bölgede yalnız tanjant pozitiftir; sin ve cos negatiftir.
Sonuç: Her ikisi de negatif.

3. Özel Açıların Değerleri

Birim çember, özel açıların değerlerini bölge bilgisiyle birlikte verir. Temel tablo:

x0°30°45°60°90°
\sin x0\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}\dfrac{\sqrt3}{2}1
\cos x1\dfrac{\sqrt3}{2}\dfrac{\sqrt2}{2}\dfrac{1}{2}0
\tan x0\dfrac{\sqrt3}{3}1\sqrt3tanımsız

Diğer bölgelerdeki değerleri, ilgili dar açı (referans açı) ve bölge işareti ile buluruz.

Örnek
Soru

\cos 120° değerini bulunuz.

120° II. bölgededir; referans açısı 180°-120°=60°'dir. II. bölgede kosinüs negatiftir.

  1. Referans açı: 180°-120°=60°, \cos 60°=\dfrac12.
  2. 120° II. bölgede, kosinüs negatif: \cos 120°=-\dfrac12.
Sonuç: -\dfrac12.

4. Grafikler ve Periyot

Açıyı sürekli artırınca P noktası çember üzerinde döner; ordinat ve apsis salınır. Bu salınımı bir grafikte gösteririz. Hem \sin x hem \cos x periyodu 2\pi olan fonksiyonlardır: her 2\pi'de bir aynı değerler tekrarlanır.

xy1-1π/2π3π/22π
Şekil 3 — y=\sin x grafiği. x=0'da 0'dan başlar, x=\dfrac{\pi}{2}'de en büyük değeri 1'e, x=\dfrac{3\pi}{2}'de en küçük değeri -1'e ulaşır. Değer aralığı [-1,1], periyodu 2\pi.
xy1-1π/2π3π/22π
Şekil 4 — y=\cos x grafiği. x=0'da en büyük değeri 1'den başlar; aynı dalga, sinüse göre \dfrac{\pi}{2} "kaymıştır". Değer aralığı [-1,1], periyodu 2\pi.

Genel olarak y=\sin(bx) ve y=\cos(bx) fonksiyonlarının periyodu \dfrac{2\pi}{|b|}'dir. \tan x fonksiyonunun periyodu ise \pi'dir.

Örnek
Soru

y=\sin 2x fonksiyonunun periyodu kaçtır?

  1. y=\sin(bx) için periyot \dfrac{2\pi}{|b|}.
  2. b=2: periyot \dfrac{2\pi}{2}=\pi.
Sonuç: \pi.

5. Temel Özdeşlik

P(\cos x,\sin x) birim çember üzerinde olduğundan, koordinatları çemberin denklemini sağlar (x^2+y^2=1):

\sin^2 x+\cos^2 x=1

Bu, bir oran biliniyorken diğerini (işaretiyle birlikte) bulmaya yarar.

Örnek
Soru

II. bölgede bir açı için \sin x=\dfrac{3}{5} ise \cos x kaçtır?

Önce \cos^2 x=1-\sin^2 x; sonra bölge işaretine karar ver. II. bölgede kosinüs negatiftir.

  1. \cos^2 x=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}, yani \cos x=\pm\dfrac{4}{5}.
  2. II. bölgede kosinüs negatif: \cos x=-\dfrac{4}{5}.
Sonuç: -\dfrac{4}{5}.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

\sin 150° değerini bulunuz.

  1. 150° II. bölgede; referans açı 180°-150°=30°.
  2. II. bölgede sinüs pozitif: \sin 150°=\sin 30°=\dfrac12.
Sonuç: \dfrac12.
Örnek
Soru

\cos 270°+\sin 270° değerini bulunuz.

  1. 270°'nin terminal kenarı (0,-1) noktasından geçer.
  2. \cos 270°=0 (apsis), \sin 270°=-1 (ordinat).
  3. Topla: 0+(-1)=-1.
Sonuç: -1.
Örnek
Soru

\tan 135° değerini bulunuz.

\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. 135° II. bölgede; referans açı 45°. II. bölgede tanjant negatiftir.

  1. Referans açı 180°-135°=45°, \tan 45°=1.
  2. II. bölgede tanjant negatif: \tan 135°=-1.
Sonuç: -1.
Örnek
Soru

y=3\sin x fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulunuz.

\sin x değer aralığı [-1,1]'dir; 3 ile çarpınca aralık nasıl değişir?

  1. -1\le \sin x\le 1.
  2. 3 ile çarp: -3\le 3\sin x\le 3.
  3. En büyük değer 3, en küçük değer -3.
Sonuç: En büyük 3, en küçük -3.
Örnek
Soru

\sin x=\dfrac{12}{13} ve x I. bölgede ise \tan x kaçtır?

  1. \cos^2 x=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}; I. bölgede \cos x=\dfrac{5}{13}.
  2. \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{12/13}{5/13}=\dfrac{12}{5}.
Sonuç: \dfrac{12}{5}.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

\sin 0°+\cos 0° değerini bul.

  1. \sin 0°=0, \cos 0°=1.
  2. Topla: 0+1=1.
Sonuç: 1.
Örnek
Soru

\cos 90°\cdot\sin 90° değerini bul.

  1. \cos 90°=0, \sin 90°=1.
  2. Çarp: 0\cdot 1=0.
Sonuç: 0.
Örnek
Soru

\sin 210° değerini bul.

  1. 210° III. bölgede; referans açı 210°-180°=30°.
  2. III. bölgede sinüs negatif: \sin 210°=-\sin 30°=-\dfrac12.
Sonuç: -\dfrac12.
Örnek
Soru

y=\cos 3x fonksiyonunun periyodu kaçtır?

  1. Periyot \dfrac{2\pi}{|b|}=\dfrac{2\pi}{3}.
Sonuç: \dfrac{2\pi}{3}.
Örnek
Soru

IV. bölgede \cos x=\dfrac{4}{5} ise \sin x kaçtır?

  1. \sin^2 x=1-\dfrac{16}{25}=\dfrac{9}{25}, \sin x=\pm\dfrac35.
  2. IV. bölgede sinüs negatif: \sin x=-\dfrac35.
Sonuç: -\dfrac35.
Örnek
Soru

\cos 300° değerini bul.

  1. 300° IV. bölgede; referans açı 360°-300°=60°.
  2. IV. bölgede kosinüs pozitif: \cos 300°=\cos 60°=\dfrac12.
Sonuç: \dfrac12.
Örnek
Soru

\dfrac{\sin^2 40°+\cos^2 40°}{\cos 0°} ifadesinin değerini bul.

Pay her açı için \sin^2 x+\cos^2 x=1'e eşittir; \cos 0°=1.

  1. Pay: \sin^2 40°+\cos^2 40°=1.
  2. Payda: \cos 0°=1.
  3. Bölüm: \dfrac{1}{1}=1.
Sonuç: 1.
Örnek
Soru

y=2\cos x-1 fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bul.

\cos x\in[-1,1]; önce 2\cos x aralığını, sonra -1 kaydırmasını uygula.

  1. -1\le\cos x\le 1\Rightarrow -2\le 2\cos x\le 2.
  2. Her tarafa -1 ekle: -3\le 2\cos x-1\le 1.
  3. En büyük 1, en küçük -3.
Sonuç: En büyük 1, en küçük -3.
Örnek
Soru

III. bölgede bir x açısı için \tan x=\dfrac34 ise \sin x kaçtır?

\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac34 olduğundan \sin x=3k, \cos x=4k kur; \sin^2 x+\cos^2 x=1 ile k'yı bul, sonra bölge işaretini uygula.

  1. \sin x=3k, \cos x=4k alalım; \sin^2 x+\cos^2 x=9k^2+16k^2=25k^2=1\Rightarrow k=\pm\dfrac15.
  2. III. bölgede sinüs negatiftir, dolayısıyla \sin x=3k<0\Rightarrow k=-\dfrac15.
  3. \sin x=3\cdot\left(-\dfrac15\right)=-\dfrac35.
Sonuç: -\dfrac35.
Örnek
Soru

f(x)=\sin x fonksiyonu için f(x)=f(x+2\pi) olduğunu kullanarak \sin\dfrac{13\pi}{6} değerini bul.

2\pi periyodunu at: \dfrac{13\pi}{6}-2\pi=\dfrac{13\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}.

  1. \dfrac{13\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6} (esas ölçü, I. bölge).
  2. \sin\dfrac{13\pi}{6}=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac12.
Sonuç: \dfrac12.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Birim çember, trigonometrinin "haritasıdır": her özel açı değeri ve her işaret kararı oradan okunur. Bilmediğin bir açıyı önce referans açı + bölge işareti ikilisine indir; grafikler ise bu değerlerin zaman içinde nasıl salındığını gösterir.

İlgili yazılar

Trigonometri — diğer konular