11. Sınıf · Trigonometri

Yönlü Açılar ve Birim Çember

~7 dk okumaZorluk: Orta20 çözümlü soru

Trigonometride açıyı artık yalnızca $0°$ ile $90°$ arasında düşünmüyoruz: bir açıyı bir başlangıç kenarından döndürülen bir ışın olarak ele alıp yön (pozitif/negatif) ve istediğimiz kadar büyük ölçü veriyoruz. Bu derste yönlü açıyı, açının ikinci ölçü birimi olan radyanı, derece–radyan dönüşümünü, birim çemberi ve bir açıya karşılık gelen esas ölçüyü öğreneceğiz. Bunlar, bir sonraki derslerdeki trigonometrik fonksiyonların temelidir.

1. Yönlü Açı ve Standart Konum

Bir açıyı, bir başlangıç kenarından döndürülen bir bitiş (terminal) kenarı olarak düşünürüz. Dönme saat yönünün tersineyse açı pozitif, saat yönündeyse negatiftir.

Bir açı standart konumda çizilir: köşesi orijinde, başlangıç kenarı pozitif $x$ ekseni üzerindedir. Açı $360°$ 'den büyük de olabilir; bu, terminal kenarının tam turlar atması demektir.

Örnek

Soru

$+120°$ ve $-90°$ açılarının terminal kenarları hangi bölgededir veya hangi eksendedir?

$+120°$ : pozitif yönde (saat tersi) $120°$ dönülür; $90°$ ile $180°$ arasında olduğundan terminal kenar II. bölgededir.
$-90°$ : negatif yönde (saat yönünde) $90°$ dönülür; terminal kenar negatif $y$ ekseni üzerindedir.

Sonuç:

+120°

II. bölgede,

-90°

negatif

y

ekseni üzerinde.

2. Radyan ve Birim Çember

Açının ikinci birimi radyandır. Bir çemberde, yarıçap uzunluğunda bir yayı gören merkez açı $1$ radyandır.

Şekil 1 — Yarıçapı

r

olan çemberde, uzunluğu

r

olan bir yay, merkezde

1

radyanlık açı görür.

1\ \text{rad}\approx 57{,}3°

Tam çemberin çevresi $2\pi r$ olduğundan, bir tam tur $2\pi$ radyandır. Yani:

$360°=2\pi\ \text{rad} \quad\Longrightarrow\quad 180°=\pi\ \text{rad}$

Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı $1$ olan çemberdir. Standart konumdaki bir açının terminal kenarı, birim çemberi $P$ noktasında keser; bu nokta ileride sinüs ve kosinüsü tanımlayacaktır.

Şekil 2 — Birim çember: merkez

O

orijinde, yarıçap

1

\alpha

açısının terminal kenarı çemberi

P

noktasında keser. Bölgeler I–IV ile gösterilir.

Örnek

Soru

Birim çemberde $\pi$ radyanlık açının terminal kenarı hangi noktadan geçer?

$\pi\ \text{rad}=180°$ ; terminal kenar negatif $x$ ekseni üzerindedir.
Birim çemberi $(-1,0)$ noktasında keser.

Sonuç:

(-1,0)

3. Derece–Radyan Dönüşümü

$180°=\pi\ \text{rad}$ eşitliğini bir dönüşüm çarpanı gibi kullanırız:

$\text{derece}\to\text{radyan}:\ \times\dfrac{\pi}{180} \qquad\qquad \text{radyan}\to\text{derece}:\ \times\dfrac{180}{\pi}$

Örnek

Soru

$60°$ kaç radyandır? $\dfrac{3\pi}{4}$ radyan kaç derecedir?

$60°=60\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}$ .
$\dfrac{3\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\cdot\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{3\cdot 180}{4}=135°$ .

Sonuç:

60°=\dfrac{\pi}{3}\ \text{rad}

\dfrac{3\pi}{4}\ \text{rad}=135°

Sık kullanılan dönüşümleri ezbere bilmek işini hızlandırır:

Derece	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
Radyan	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Örnek

Soru

$\dfrac{5\pi}{6}$ radyanı dereceye çeviriniz.

$\pi$ yerine $180°$ koy: $\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{5\cdot 180°}{6}$ .

$\dfrac{5\pi}{6}\cdot\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\cdot 180}{6}=\dfrac{900}{6}=150°$ .

Sonuç:

150°

4. Esas Ölçü

$360°$ (ya da $2\pi$ ) eklemek veya çıkarmak terminal kenarı değiştirmez; bu açılar birbirine eştir. Bir açının $[0°,360°)$ aralığındaki (radyanda $[0,2\pi)$ ) eşine esas ölçü denir.

Esas ölçüyü bulmak için açıdan tam turları ( $360°$ veya $2\pi$ ) atarız; negatifse pozitif olana ulaşana kadar tam tur ekleriz.

Örnek

Soru

$780°$ açısının esas ölçüsü kaç derecedir?

$780°$ 'den tam turları at: $780-360=420$ , $420-360=60$ .
$60°$ , $[0°,360°)$ aralığındadır.

Sonuç:

60°

Örnek

Soru

$-\dfrac{\pi}{3}$ açısının $[0,2\pi)$ aralığındaki esas ölçüsü nedir?

Negatif açıya, pozitif olana ulaşana kadar $2\pi$ ekle.

$-\dfrac{\pi}{3}+2\pi=-\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{6\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{3}$ .
$\dfrac{5\pi}{3}$ , $[0,2\pi)$ aralığındadır.

Sonuç:

\dfrac{5\pi}{3}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$1110°$ açısının esas ölçüsünü bulunuz.

$1110°$ 'den tam turları atmak için $1110\div 360$ : $360\cdot 3=1080$ .
$1110-1080=30$ .
$30°$ , $[0°,360°)$ aralığındadır.

Sonuç:

30°

Örnek

Soru

$225°$ kaç radyandır?

$225°=225\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{225\pi}{180}$ .
Sadeleştir ( $45$ ile): $\dfrac{225}{180}=\dfrac{5}{4}$ .
Sonuç $\dfrac{5\pi}{4}\ \text{rad}$ .

Sonuç:

\dfrac{5\pi}{4}\ \text{rad}

Örnek

Soru

Terminal kenarı III. bölgede olan bir açı için aşağıdakilerden biri olabilir mi: $200°$ , $-200°$ , $400°$ ?

Önce her açının esas ölçüsünü bul; hangi bölge $180°$ – $270°$ arasıdır?

III. bölge $180°$ ile $270°$ arasıdır.
$200°$ : zaten bu aralıkta → III. bölge.
$-200°$ : esas ölçü $-200+360=160°$ → II. bölge.
$400°$ : esas ölçü $400-360=40°$ → I. bölge.

Sonuç: Yalnız

200°

III. bölgededir.

Örnek

Soru

Bir saatin yelkovanı $20$ dakikada kaç derecelik açı tarar? Bu açı kaç radyandır?

Yelkovan $60$ dakikada tam tur ( $360°$ ) atar.

$60$ dakika $360°$ ise $20$ dakika $\dfrac{360}{60}\cdot 20=120°$ tarar.
Radyan: $120\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{2\pi}{3}\ \text{rad}$ .

Sonuç:

120°=\dfrac{2\pi}{3}\ \text{rad}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$90°$ kaç radyandır?

$90\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$ .

Sonuç:

\dfrac{\pi}{2}\ \text{rad}

Örnek

Soru

$\dfrac{7\pi}{6}$ radyan kaç derecedir?

$\dfrac{7\pi}{6}\cdot\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{7\cdot 180}{6}=7\cdot 30=210°$ .

Sonuç:

210°

Örnek

Soru

$300°$ 'lik açının terminal kenarı hangi bölgededir?

$300°$ , $270°$ ile $360°$ arasındadır → IV. bölge.

Sonuç: IV. bölge.

Örnek

Soru

$420°$ açısının esas ölçüsünü bul.

$420-360=60°$ .

Sonuç:

60°

Örnek

Soru

$135°$ kaç radyandır?

$135\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{135\pi}{180}=\dfrac{3\pi}{4}\ \text{rad}$ .

Sonuç:

\dfrac{3\pi}{4}\ \text{rad}

Örnek

Soru

$-45°$ açısının $[0°,360°)$ aralığındaki esas ölçüsünü bul.

$-45+360=315°$ .

Sonuç:

315°

Örnek

Soru

$\dfrac{17\pi}{4}$ radyanlık açının $[0,2\pi)$ aralığındaki esas ölçüsünü bul.

$2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$ olarak yaz; $\dfrac{17\pi}{4}$ 'ten tam turları ( $\dfrac{8\pi}{4}$ ) at.

$2\pi=\dfrac{8\pi}{4}$ . İki tam tur $=\dfrac{16\pi}{4}$ .
$\dfrac{17\pi}{4}-\dfrac{16\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}$ .
$\dfrac{\pi}{4}$ , $[0,2\pi)$ aralığındadır.

Sonuç:

\dfrac{\pi}{4}

Örnek

Soru

Terminal kenarı II. bölgede olan ve esas ölçüsü $\dfrac{3\pi}{4}$ olan açıya eş olan bir negatif açı yazınız.

Eş açı elde etmek için $2\pi$ çıkar: $\dfrac{3\pi}{4}-2\pi$ .

$\dfrac{3\pi}{4}-2\pi=\dfrac{3\pi}{4}-\dfrac{8\pi}{4}=-\dfrac{5\pi}{4}$ .
$-\dfrac{5\pi}{4}$ negatiftir ve $\dfrac{3\pi}{4}$ ile aynı terminal kenara sahiptir.

Sonuç:

-\dfrac{5\pi}{4}

(uygun bir örnek).

Örnek

Soru

Yarıçapı $6$ cm olan bir çemberde, merkez açısı $\dfrac{\pi}{3}$ radyan olan yayın uzunluğu kaç cm'dir?

Yay uzunluğu $\ell=r\cdot\theta$ 'dır; burada $\theta$ radyan cinsinden olmalıdır.

Yay uzunluğu formülü: $\ell=r\cdot\theta=6\cdot\dfrac{\pi}{3}$ .
$\ell=2\pi$ cm.

Sonuç:

2\pi

cm.

Örnek

Soru

$\dfrac{25\pi}{6}$ radyanlık açının terminal kenarı hangi bölgededir?

Önce esas ölçüyü bul: $2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$ olarak tam turları at.

$2\pi=\dfrac{12\pi}{6}$ . İki tam tur $=\dfrac{24\pi}{6}$ .
$\dfrac{25\pi}{6}-\dfrac{24\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}$ (esas ölçü).
$\dfrac{\pi}{6}=30°$ , $0°$ ile $90°$ arasıdır → I. bölge.

Sonuç: I. bölge.

Sık Yapılan Hatalar

Dönüşüm çarpanını ters çevirmek. Dereceyi radyana çevirirken $\times\dfrac{\pi}{180}$ , radyanı dereceye çevirirken $\times\dfrac{180}{\pi}$ kullanılır; birimler sadeleşip doğru sonuç vermeli.
Esas ölçüde turu eksik atmak. $1110°$ gibi büyük açılarda tek bir $360°$ atmak yetmez; $[0°,360°)$ aralığına düşene kadar tekrar at.
Negatif açının esas ölçüsünü negatif bırakmak. Esas ölçü her zaman $[0°,360°)$ içindedir; negatif açıya $360°$ ekle.
Yay uzunluğunda dereceyle çalışmak. $\ell=r\theta$ formülünde $\theta$ mutlaka radyan olmalıdır; derece verilmişse önce radyana çevir.

Not: $180°=\pi$ eşitliğini bir "köprü" gibi düşün: hangi yöne gidersen git, $\pi$ ile $180°$ yer değiştirir. Büyük ya da negatif açılarda ilk işin esas ölçüyü bulmak olsun; bölge ve işaret kararları hep esas ölçüye göre verilir.

1. Yönlü Açı ve Standart Konum

2. Radyan ve Birim Çember

3. Derece–Radyan Dönüşümü

4. Esas Ölçü

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Trigonometri — diğer konular