AYT Matematik · Türev

İkinci Türev, Konkavlık ve Dönüm Noktaları

~9 dk okumaZorluk: Zor18 çözümlü soru

Birinci türev grafiğin eğimini anlatır; ikinci türev ise grafiğin bükülme yönünü — konkavlığı — verir. $f''$ 'nün işareti eğrinin $\cup$ mı yoksa $\cap$ mı olduğunu, işaret değiştirdiği yerler ise dönüm noktalarını belirler. Ayrıca ikinci türev, kritik noktaları sınıflandırmak için en hızlı araçtır: ikinci türev testi. Bu konu AYT'de ekstremum ve grafik sorularının belkemiğidir.

1. Konkavlık ve İkinci Türevin İşareti

Bir aralıkta ikinci türevin işareti, grafiğin o aralıktaki bükülme yönünü belirler:

Koşul	Konkavlık	Şekil	Eş anlamı
$f''(x) > 0$	Konkav yukarı	$\cup$	dışbükey
$f''(x) < 0$	Konkav aşağı	$\cap$	içbükey

Sezgi: $f''>0$ ise eğim $f'$ artar (grafik giderek dikleşir, tas yukarı bakar); $f''<0$ ise eğim azalır (grafik yukarı doğru bükülür, tas aşağı bakar).

$f''(x)=\big(f'(x)\big)'=\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$

2. Dönüm (Büküm) Noktası

Dönüm noktası, grafiğin konkavlığının yön değiştirdiği — yani $f''$ 'nün işaret değiştirdiği — noktadır.

$x=c \text{ dönüm noktası} \iff f''(c)=0 \text{ (veya tanımsız)} \;\textbf{ve}\; f'' \text{ burada işaret değiştirir.}$

Dikkat: $f''(c)=0$ olması tek başına yetmez. İşaret değişimi şarttır. Aksi hâlde $c$ dönüm noktası değildir (bkz. Örnek 4, $f(x)=x^4$ ).

3. İkinci Türev Testi

$f'(c)=0$ olan bir kritik noktada ( $c$ ):

Koşul	Sonuç
$f''(c) > 0$	$c$ 'de yerel minimum ( $\cup$ )
$f''(c) < 0$	$c$ 'de yerel maksimum ( $\cap$ )
$f''(c) = 0$	Test sonuçsuz — birinci türev (işaret tablosu) testine dön

Bu test, kritik noktanın türünü tek bir değer hesabıyla verdiği için sınavda işaret tablosundan çok daha hızlıdır.

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}$ fonksiyonunun konkavlığını inceleyiniz ve varsa dönüm noktasını bulunuz.

İkinci türevi al: $f'(x)=3x^{2}$ , $f''(x)=6x$ .
$f''(x)=0 \Rightarrow x=0$ . Bu, olası dönüm noktasıdır.
İşaret incele: $x < 0$ için $f''(x) < 0$ → konkav aşağı ( $\cap$ ); $x > 0$ için $f''(x) > 0$ → konkav yukarı ( $\cup$ ).
$x=0$ 'da işaret değiştiği için burası gerçek bir dönüm noktasıdır.

Sonuç:

(-\infty,0)

konkav aşağı,

(0,\infty)

konkav yukarı;

x=0

dönüm noktasıdır.

Örnek

Soru

$f(x)=x^{4}-6x^{2}$ fonksiyonunun konkav yukarı/aşağı olduğu aralıkları ve dönüm noktalarını bulunuz.

İkinci türevi çarpanlarına ayırıp kökleri bul; bu kökler arasında $f''$ 'nün işaretine bak.

Türevleri al: $f'(x)=4x^{3}-12x$ , $f''(x)=12x^{2}-12$ .
Çarpanlara ayır: $f''(x)=12(x^{2}-1)=12(x-1)(x+1)$ .
Kökler $x=-1$ ve $x=1$ . İşaret tablosu: dışta ( $|x| > 1$ ) $f''(x) > 0$ , içte ( $-1 < x < 1$ ) $f''(x) < 0$ .
Her iki kökte de işaret değiştiğinden ikisi de dönüm noktasıdır.

Sonuç: Konkav yukarı:

(-\infty,-1)\cup(1,\infty)

; konkav aşağı:

(-1,1)

. Dönüm noktaları:

x=\pm 1

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}-3x$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını ikinci türev testiyle sınıflandırınız.

Kritik noktalar: $f'(x)=3x^{2}-3=0 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1$ .
İkinci türevi al: $f''(x)=6x$ .
$x=-1$ : $f''(-1)=-6 < 0$ → yerel maksimum.
$x=1$ : $f''(1)=6 > 0$ → yerel minimum.

Sonuç:

x=-1

yerel maksimum,

x=1

yerel minimum. (Değerler:

f(-1)=2

f(1)=-2

Örnek

Soru

$f(x)=x^{4}$ fonksiyonunda $f''(0)=0$ olmasına rağmen $x=0$ neden dönüm noktası değildir? $x=0$ ne tür bir noktadır?

Dönüm noktası için $f''$ 'nün işaret değiştirmesi gerekir. $f''(x)$ 'in işaretini $x=0$ 'ın iki yanında kontrol et.

Türevleri al: $f'(x)=4x^{3}$ , $f''(x)=12x^{2}$ .
$f''(x)=12x^{2}\ge 0$ her $x$ için; özelde $f''(0)=0$ .
İşaret incele: hem $x < 0$ hem $x > 0$ için $f''(x) > 0$ . İşaret değişmiyor → konkavlık her iki yanda da $\cup$ .
İşaret değişmediği için $x=0$ dönüm noktası değildir. $f'(0)=0$ ve çevresinde $f''>0$ olduğundan ( $\cup$ ) burası yerel minimumdur.

Sonuç:

x=0

dönüm noktası değildir; işaret değişmediği için yerel minimumdur.

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx$ fonksiyonunun dönüm noktası $(1,-2)$ ise $a$ ve $b$ değerlerini bulunuz.

İki koşul var: dönüm noktasında $f''=0$ olmalı ve nokta grafiğin üzerinde olmalı ( $f(1)=-2$ ).

Türevleri al: $f'(x)=3x^{2}+2ax+b$ , $f''(x)=6x+2a$ .
Dönüm koşulu: $f''(1)=0 \Rightarrow 6+2a=0 \Rightarrow a=-3$ .
Nokta grafikte: $f(1)=1+a+b=-2$ . $a=-3$ yerine: $1-3+b=-2 \Rightarrow b=0$ .
Kontrol: $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ , $x=1$ 'de işaret değiştirir → gerçek dönüm noktası.

Sonuç:

a=-3

b=0

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x$ fonksiyonunun konkav yukarı ve konkav aşağı olduğu aralıkları bulunuz.

Türevleri al: $f'(x)=6x^{2}-18x+12$ , $f''(x)=12x-18$ .
$f''(x)=0 \Rightarrow 12x-18=0 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$ .
$x < \dfrac{3}{2}$ için $f''(x) < 0$ → konkav aşağı; $x > \dfrac{3}{2}$ için $f''(x) > 0$ → konkav yukarı.

Sonuç: Konkav aşağı:

\left(-\infty,\tfrac{3}{2}\right)

; konkav yukarı:

\left(\tfrac{3}{2},\infty\right)

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+1$ fonksiyonunun dönüm noktasının apsisini bulunuz.

Türevleri al: $f'(x)=3x^{2}-12x+9$ , $f''(x)=6x-12$ .
$f''(x)=0 \Rightarrow 6x-12=0 \Rightarrow x=2$ .
$x < 2$ için $f''(x) < 0$ , $x > 2$ için $f''(x) > 0$ ; işaret değiştiği için $x=2$ gerçek dönüm noktasıdır.

Sonuç: Dönüm noktasının apsisi

x=2

'dir.

Örnek

Soru

$f(x)=x^{4}-4x^{3}$ fonksiyonunun dönüm noktalarının apsislerini bulunuz.

İkinci türevi çarpanlarına ayır; her kökte işaret değişip değişmediğine bak.

Türevleri al: $f'(x)=4x^{3}-12x^{2}$ , $f''(x)=12x^{2}-24x$ .
Çarpanla: $f''(x)=12x(x-2)$ . Kökler $x=0$ ve $x=2$ .
İşaret tablosu: $x < 0$ için $f''>0$ , $0 < x < 2$ için $f''<0$ , $x > 2$ için $f''>0$ .
Her iki kökte de işaret değiştiği için ikisi de dönüm noktasıdır.

Sonuç: Dönüm noktaları:

x=0

x=2

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}-x^{2}-3x+5$ fonksiyonunun kritik noktalarını ikinci türev testiyle sınıflandırınız.

Kritik noktalar: $f'(x)=x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1$ veya $x=3$ .
İkinci türev: $f''(x)=2x-2$ .
$x=-1$ : $f''(-1)=-4 < 0$ → yerel maksimum.
$x=3$ : $f''(3)=4 > 0$ → yerel minimum.

Sonuç:

x=-1

yerel maksimum,

x=3

yerel minimumdur.

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}+3x^{2}-9x$ fonksiyonu $x=a$ noktasında dönüm noktasına sahiptir. Bu noktadaki teğetin eğimini bulunuz.

Önce $f''=0$ kökünden dönüm apsisini bul; teğetin eğimi $f'(a)$ 'dır.

Türevleri al: $f'(x)=3x^{2}+6x-9$ , $f''(x)=6x+6$ .
Dönüm noktası: $f''(x)=0 \Rightarrow 6x+6=0 \Rightarrow x=-1$ , yani $a=-1$ .
Teğetin eğimi $f'(-1)=3(-1)^{2}+6(-1)-9=3-6-9=-12$ .

Sonuç: Dönüm noktasındaki teğetin eğimi

-12

'dir.

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}+ax^{2}+3x-4$ fonksiyonunun $x=1$ noktasında dönüm noktası olması için $a$ kaç olmalıdır?

Türevleri al: $f'(x)=3x^{2}+2ax+3$ , $f''(x)=6x+2a$ .
Dönüm koşulu: $f''(1)=0 \Rightarrow 6+2a=0 \Rightarrow a=-3$ .
Kontrol: $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ , $x=1$ 'de işaret değiştirir → gerçek dönüm noktası.

Sonuç:

a=-3

Örnek

Soru

$f(x)=x^{4}-2x^{2}+5$ fonksiyonunun konkav aşağı ( $\cap$ ) olduğu aralığın uzunluğunu bulunuz.

İkinci türevin negatif olduğu aralığı bul; uzunluk üst sınır eksi alt sınırdır.

Türevleri al: $f'(x)=4x^{3}-4x$ , $f''(x)=12x^{2}-4$ .
$f''(x)=0 \Rightarrow 12x^{2}=4 \Rightarrow x^{2}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ .
İçte ( $x^{2} < \tfrac{1}{3}$ ) $f''(x) < 0$ → konkav aşağı. Aralık $\left(-\tfrac{1}{\sqrt 3},\tfrac{1}{\sqrt 3}\right)$ .
Uzunluk $=\dfrac{1}{\sqrt 3}-\left(-\dfrac{1}{\sqrt 3}\right)=\dfrac{2}{\sqrt 3}=\dfrac{2\sqrt 3}{3}$ .

Sonuç: Konkav aşağı aralığının uzunluğu

\dfrac{2\sqrt 3}{3}

'tür.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ fonksiyonunun dönüm noktası $(1,3)$ noktasıdır. Ayrıca bu fonksiyonun $x=1$ apsisli noktasındaki teğeti $y=-x+4$ doğrusudur.

Buna göre $a+b+c$ toplamı kaçtır?

A) $-2$ · B) $0$ · C) $1$ · D) $2$ · E) $4$

Türevleri al: $f'(x)=3x^{2}+2ax+b$ , $f''(x)=6x+2a$ .
Dönüm koşulu: $f''(1)=0 \Rightarrow 6+2a=0 \Rightarrow a=-3$ .
Teğet eğimi: $y=-x+4$ doğrusunun eğimi $-1$ olduğundan $f'(1)=-1$ . Buradan $3+2a+b=-1 \Rightarrow 3-6+b=-1 \Rightarrow b=2$ .
Dönüm noktası grafiğin üzerinde: $f(1)=1+a+b+c=3 \Rightarrow 1-3+2+c=3 \Rightarrow c=3$ .
Kontrol: $x=1$ 'de teğet değeri $-1+4=3=f(1)$ ✓. Toplam: $a+b+c=-3+2+3=2$ .

Sonuç: D)

2

Örnek

Soru

$f(x)=x^{4}-2x^{3}-12x^{2}+5x-7$ fonksiyonu, $(p,q)$ açık aralığında konkav aşağı ( $\cap$ ) bükülmektedir.

Buna göre bu aralığın uzunluğu $q-p$ kaçtır?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $5$

Türevleri al: $f'(x)=4x^{3}-6x^{2}-24x+5$ , $f''(x)=12x^{2}-12x-24$ .
Sadeleştir ve çarpanla: $f''(x)=12(x^{2}-x-2)=12(x-2)(x+1)$ .
Kökler $x=-1$ ve $x=2$ . Parabol yukarı açıldığından kökler arasında $f''(x) < 0$ → konkav aşağı.
Aralık $(-1,2)$ , uzunluk $2-(-1)=3$ .

Sonuç: C)

3

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+k$ fonksiyonunun grafiği $y$ eksenini $(0,4)$ noktasında kesmektedir. Bu fonksiyonun yerel maksimum ve yerel minimum değerleri ikinci türev testiyle belirleniyor.

Buna göre yerel maksimum değeri ile yerel minimum değerinin toplamı kaçtır?

A) $-14$ · B) $-8$ · C) $-4$ · D) $2$ · E) $8$

$(0,4)$ noktasından: $f(0)=k=4$ .
Kritik noktalar: $f'(x)=3x^{2}-6x-9=3(x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=-1$ veya $x=3$ .
İkinci türev testi: $f''(x)=6x-6$ . $f''(-1)=-12 < 0$ → $x=-1$ yerel maksimum; $f''(3)=12 > 0$ → $x=3$ yerel minimum.
Değerler: $f(-1)=-1-3+9+4=9$ (maks); $f(3)=27-27-27+4=-23$ (min).
Toplam: $9+(-23)=-14$ .

Sonuç: A)

-14

Örnek

Soru

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+x$ fonksiyonunun dönüm noktası $x=1$ apsisindedir ve bu noktadaki teğetin eğimi $-2$ 'dir.

Buna göre $a+b$ kaçtır?

A) $-2$ · B) $-1$ · C) $0$ · D) $1$ · E) $2$

Türevler: $f'(x)=3ax^{2}+2bx+1$ , $f''(x)=6ax+2b$ .
Dönüm koşulu: $f''(1)=0\Rightarrow 6a+2b=0\Rightarrow b=-3a$ .
Teğet eğimi: $f'(1)=3a+2b+1=-2\Rightarrow 3a+2b=-3$ .
$b=-3a$ yerine koy: $3a+2(-3a)=-3\Rightarrow 3a-6a=-3\Rightarrow -3a=-3\Rightarrow a=1$ , $b=-3$ .
İstenen: $a+b=1+(-3)=-2$ .

Sonuç: A)

-2

Örnek

Soru

$f(x)=x^{4}-4x^{3}+10x$ fonksiyonunun grafiği $(p,q)$ açık aralığında konkav aşağı ( $\cap$ ) bükülmektedir.

Buna göre $p+q$ kaçtır?

A) $0$ · B) $1$ · C) $2$ · D) $3$ · E) $4$

Türevler: $f'(x)=4x^{3}-12x^{2}+10$ , $f''(x)=12x^{2}-24x$ .
Çarpanla: $f''(x)=12x(x-2)$ . Kökler $x=0$ ve $x=2$ .
Parabol yukarı açıldığından kökler arasında $f''(x)<0$ → konkav aşağı. Aralık $(0,2)$ , yani $p=0$ , $q=2$ .
İstenen: $p+q=0+2=2$ .

Sonuç: C)

2

Örnek

Soru

$f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ fonksiyonunun $x=2$ apsisli noktasında yerel minimumu, $x=0$ apsisli noktasında dönüm noktası vardır.

Buna göre $a$ kaçtır?

A) $-3$ · B) $-2$ · C) $0$ · D) $2$ · E) $3$

Türevler: $f'(x)=3x^{2}+2ax+b$ , $f''(x)=6x+2a$ .
Dönüm noktası $x=0$ : $f''(0)=0\Rightarrow 2a=0\Rightarrow a=0$ .
(Tutarlılık kontrolü: $a=0$ ile $f''(x)=6x$ , $x=0$ 'da işaret değiştirir → gerçek dönüm; $x=2$ yerel minimum için $f''(2)=12>0$ ✓.)
İstenen değer: $a=0$ .

Sonuç: C)

0

Sık Yapılan Hatalar

$f''(c)=0$ olan her noktayı dönüm noktası sanmak. İşaret değişimi şarttır; $f(x)=x^{4}$ 'te $f''(0)=0$ ama dönüm yoktur.
Konkavlık terimlerini karıştırmak. $f''>0 \Rightarrow$ konkav yukarı ( $\cup$ , dışbükey); $f''<0 \Rightarrow$ konkav aşağı ( $\cap$ , içbükey).
İkinci türev testi $f''(c)=0$ verdiğinde sonuç çıkarmak. Bu durumda test sonuçsuzdur; birinci türevin işaret tablosuna dönmek gerekir.
Dönüm noktası ile ekstremum noktasını karıştırmak. Ekstremumda $f'=0$ ; dönüm noktasında $f''=0$ (ve işaret değişir). Bunlar farklı kavramlardır.

Sınav İpucu

Bir kritik noktanın türü (maks/min) soruluyorsa önce ikinci türev testini dene: tek değer hesabıyla sonuç verir, en hızlısıdır.
İkinci türev testi $f''(c)=0$ verirse zaman kaybetmeden işaret tablosuna geç.
Polinomda dönüm noktası ararken $f''(x)$ 'i çarpanlara ayır; köklerin etrafında işaret değişimini kontrol etmeyi unutma.
Kübik fonksiyonun ( $ax^{3}+\dots$ ) tam bir dönüm noktası vardır ve grafiğin simetri merkezidir.

1. Konkavlık ve İkinci Türevin İşareti

2. Dönüm (Büküm) Noktası

3. İkinci Türev Testi

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Türev — diğer konular