çözümebak

AYT Matematik · Türev

Optimizasyon (Maksimum-Minimum) Problemleri

~11 dk okumaZorluk: Zor16 çözümlü soru

Optimizasyon problemleri, bir kısıt altında bir büyüklüğü (alan, hacim, maliyet, uzaklık) en büyük ya da en küçük yapan değeri arar. Türevin gücü tam burada ortaya çıkar: optimize edilecek büyüklük tek değişkenli bir fonksiyona indirildiğinde, f'=0 koşulu kritik noktaları verir, ikinci türev veya işaret incelemesi ise bunun maksimum mı minimum mu olduğunu söyler. AYT'de sözel kurulumuyla sık çıkan, puanı yüksek bir konudur.

1. Yöntem: 5 Adımlı Yol

Hemen hemen her optimizasyon problemi aynı iskelete oturur. Bu beş adımı sırayla uygulamak, sözel karmaşayı mekanik bir hesaba çevirir.

AdımYapılan iş
1. Değişken tanımlaBilinmeyen uzunlukları x, y, r, h gibi harflerle adlandır; bir şekil çiz
2. Kısıt denklemini yazProblemin verdiği sabit bağıntı (çevre, hacim, toplam) bir denklem olarak yazılır
3. Tek değişkene indirOptimize edilecek büyüklüğü, kısıtı kullanarak tek değişkenle ifade et
4. f'=0 çözTürevi sıfırlayıp kritik noktaları bul
5. Doğrulaİkinci türev / işaret tablosu ile maks–min ayrımı yap, tanım aralığı ve uç noktaları kontrol et

Püf noktası: 5. adımı atlamak en sık kaybedilen puandır. f'=0 size bir aday verir; o adayın gerçekten istenen uç değer olduğunu mutlaka ikinci türev işaretiyle veya f' işaret değişimiyle gösterin.

İkinci türev testi kısaca şöyledir: f'(c)=0 olan bir c noktasında

f''(c) > 0 \;\Rightarrow\; \text{yerel minimum},\qquad f''(c) < 0 \;\Rightarrow\; \text{yerel maksimum}.

2. Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

Çevresi 40\,\text{m} olan dikdörtgenler arasında alanı en büyük olanın boyutlarını ve bu en büyük alanı bulunuz.

Kenarlara x ve y de; çevre kısıtından y'yi x cinsinden yazıp alanı tek değişkenli yap.

  1. Değişken: Kenarlar x ve y olsun, x > 0, y > 0.
  2. Kısıt: Çevre 2x+2y=40 \Rightarrow x+y=20 \Rightarrow y=20-x.
  3. Tek değişken: Alan A(x)=x\,y=x(20-x)=20x-x^{2}, tanım aralığı 0 < x < 20.
  4. Türev sıfır: A'(x)=20-2x=0 \Rightarrow x=10.
  5. Doğrula: A''(x)=-2 < 0 olduğundan x=10 bir maksimumdur. Bu durumda y=20-10=10 ve A=10\cdot 10=100.
Sonuç: Kenarlar 10\,\text{m}\times 10\,\text{m} (bir kare); en büyük alan 100\,\text{m}^{2}.
Örnek
Soru

Kenar uzunluğu 12 birim olan kare bir kartonun dört köşesinden x\times x boyutunda kareler kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Hacmi en büyük yapan x değerini ve bu hacmi bulunuz.

Tabanın bir kenarı 12-2x olur, yükseklik ise x'tir. Hacmi x cinsinden yazıp türevini al.

  1. Değişken: Kesilen karenin kenarı x; katlamadan sonra yükseklik x, taban kenarı 12-2x.
  2. Tanım aralığı: Taban kenarı pozitif olmalı: 12-2x > 0 \Rightarrow 0 < x < 6.
  3. Tek değişken: Hacim V(x)=x(12-2x)^{2}.
  4. Türev sıfır: Çarpım kuralıyla

V'(x)=(12-2x)^{2}+x\cdot 2(12-2x)(-2)=(12-2x)\big[(12-2x)-4x\big]=(12-2x)(12-6x).

V'(x)=0 \Rightarrow 12-2x=0 (yani x=6, sınırda elenir) ya da 12-6x=0 \Rightarrow x=2. 5. Doğrula: 0 < x < 2 için V' > 0, 2 < x < 6 için V' < 0; işaret +'dan -'ye döndüğü için x=2 bir maksimumdur. V(2)=2\cdot(12-4)^{2}=2\cdot 8^{2}=2\cdot 64=128.

Sonuç: x=2 birim; en büyük hacim 128 birim küp.
Örnek
Soru

Hacmi sabit V olan, üstü açık silindir biçimli bir kabın en az malzeme ile (en küçük yüzey alanıyla) yapılabilmesi için taban yarıçapı r ne olmalıdır?

Yüzey = taban dairesi + yan yüz. Hacim kısıtından h'yi çek, yüzeyi yalnız r cinsinden yaz.

  1. Değişken: Taban yarıçapı r > 0, yükseklik h > 0.
  2. Kısıt: Hacim V=\pi r^{2}h \Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi r^{2}}.
  3. Tek değişken: Üstü açık olduğundan yüzey, taban (\pi r^{2}) artı yan yüzdür (2\pi r h):

A(r)=\pi r^{2}+2\pi r h=\pi r^{2}+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^{2}}=\pi r^{2}+\frac{2V}{r}.

  1. Türev sıfır: A'(r)=2\pi r-\dfrac{2V}{r^{2}}=0 \Rightarrow 2\pi r=\dfrac{2V}{r^{2}} \Rightarrow r^{3}=\dfrac{V}{\pi} \Rightarrow r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{\pi}}.
  2. Doğrula: A''(r)=2\pi+\dfrac{4V}{r^{3}} > 0 (her r > 0 için) olduğundan bu nokta bir minimumdur. Yükseklik ise h=\dfrac{V}{\pi r^{2}} ile bulunur; r^{3}=\dfrac{V}{\pi} yerine konursa h=r çıkar (yükseklik yarıçapa eşit).
Sonuç: r=\sqrt[3]{\dfrac{V}{\pi}} ve bu durumda h=r. Örneğin V=\pi ise r=1, h=1.
Örnek
Soru

y=x^{2} parabolü üzerindeki noktalar arasında (0,3) noktasına en yakın olanını bulunuz.

Uzaklığın kendisi yerine karesini minimize et; karekök artan fonksiyon olduğundan minimum aynı noktada oluşur ve hesap kolaylaşır.

  1. Değişken: Parabol üzerindeki nokta (x,\,x^{2}) biçimindedir.
  2. Büyüklük: (0,3)'e uzaklığın karesi

D^{2}(x)=(x-0)^{2}+(x^{2}-3)^{2}=x^{2}+(x^{2}-3)^{2}.

  1. Türev sıfır: Zincir kuralıyla

\frac{d}{dx}D^{2}=2x+2(x^{2}-3)\cdot 2x=2x+4x(x^{2}-3)=2x\big[1+2(x^{2}-3)\big]=2x(2x^{2}-5).

\dfrac{d}{dx}D^{2}=0 \Rightarrow x=0 ya da 2x^{2}-5=0 \Rightarrow x^{2}=\dfrac{5}{2}, yani x=\pm\sqrt{\dfrac{5}{2}}. 4. Adayları karşılaştır: x=0 için D^{2}=0+9=9. x^{2}=\dfrac{5}{2} için D^{2}=\dfrac{5}{2}+\left(\dfrac{5}{2}-3\right)^{2}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{4}. 5. Doğrula: \dfrac{11}{4}=2{,}75 < 9 olduğundan minimum x=\pm\sqrt{\dfrac{5}{2}} noktalarında; x=0 ise yerel maksimum benzeri bir tepe verir. En küçük uzaklık \sqrt{\dfrac{11}{4}}=\dfrac{\sqrt{11}}{2}.

Sonuç: En yakın noktalar \left(\pm\sqrt{\dfrac{5}{2}},\;\dfrac{5}{2}\right); en küçük uzaklık \dfrac{\sqrt{11}}{2}.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Toplamları 20 olan iki pozitif sayının çarpımı en çok kaçtır?

  1. Sayılar x ve 20-x olsun, 0 < x < 20. Çarpım P(x)=x(20-x)=20x-x^{2}.
  2. P'(x)=20-2x=0 \Rightarrow x=10.
  3. P''(x)=-2 < 0 olduğundan x=10 maksimumdur. P(10)=10\cdot 10=100.
Sonuç: En büyük çarpım 100 (sayılar 10 ve 10).
Örnek
Soru

Bir çiftçi, bir kenarı düz bir duvara dayanan dikdörtgen bir tarlayı çevirmek için 60\,\text{m} tel kullanacaktır. Duvar tarafına tel çekilmeyeceğine göre çevrilebilecek en büyük alan kaç \text{m}^{2}'dir?

  1. Duvara dik iki kenar x, duvara paralel kenar y olsun. Tel yalnız üç kenara çekilir: 2x+y=60 \Rightarrow y=60-2x.
  2. Alan A(x)=x\,y=x(60-2x)=60x-2x^{2}, tanım aralığı 0 < x < 30.
  3. A'(x)=60-4x=0 \Rightarrow x=15, dolayısıyla y=60-30=30.
  4. A''(x)=-4 < 0 olduğundan maksimumdur. A=15\cdot 30=450.
Sonuç: En büyük alan 450\,\text{m}^{2} (x=15\,\text{m}, y=30\,\text{m}).
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+5 fonksiyonunun [0,\,4] kapalı aralığındaki en küçük değeri kaçtır?

  1. f'(x)=3x^{2}-6x-9=3(x^{2}-2x-3)=3(x-3)(x+1)=0 \Rightarrow x=3 veya x=-1.
  2. x=-1 aralık dışındadır; aralık içindeki kritik nokta yalnız x=3.
  3. Uç noktalar ve kritik nokta karşılaştırılır: f(0)=5, f(3)=27-27-27+5=-22, f(4)=64-48-36+5=-15.
  4. En küçük değer x=3'te oluşur: -22.
Sonuç: En küçük değer -22 (x=3).
Örnek
Soru

Hacmi 32\pi\,\text{cm}^{3} olan, üstü ve altı kapalı (tam kapalı) silindir biçimli bir kabın toplam yüzey alanı en az olacak şekilde taban yarıçapı r kaç cm olmalıdır?

  1. Hacim kısıtı: \pi r^{2}h=32\pi \Rightarrow h=\dfrac{32}{r^{2}}.
  2. Tam kapalı yüzey: iki taban artı yan yüz: A(r)=2\pi r^{2}+2\pi r h=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot\dfrac{32}{r^{2}}=2\pi r^{2}+\dfrac{64\pi}{r}.
  3. A'(r)=4\pi r-\dfrac{64\pi}{r^{2}}=0 \Rightarrow 4\pi r^{3}=64\pi \Rightarrow r^{3}=16 \Rightarrow r=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}.
  4. A''(r)=4\pi+\dfrac{128\pi}{r^{3}} > 0 olduğundan minimumdur.
Sonuç: r=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}\,\text{cm}.
Örnek
Soru

Birim çembere (yarıçapı 1 olan çembere) içten teğet, kenarları eksenlere paralel ve çemberin merkezinden geçen eksenlere göre simetrik bir dikdörtgenin alanı en çok kaçtır? (Köşeleri çember üzerinde olan, x^{2}+y^{2}=1 çemberine iç dikdörtgen.)

  1. Birinci bölgedeki köşe (x,y) ile x^{2}+y^{2}=1 \Rightarrow y=\sqrt{1-x^{2}}, 0 < x < 1.
  2. Dikdörtgenin kenarları 2x ve 2y olduğundan alan A=2x\cdot 2y=4x\sqrt{1-x^{2}}.
  3. Hesabı kolaylaştırmak için A^{2}=16x^{2}(1-x^{2})=16(x^{2}-x^{4}). \dfrac{d}{dx}A^{2}=16(2x-4x^{3})=32x(1-2x^{2})=0 \Rightarrow x^{2}=\dfrac{1}{2}.
  4. x=\dfrac{1}{\sqrt{2}} için y=\sqrt{1-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Alan A=4\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2}}=4\cdot\dfrac{1}{2}=2.
Sonuç: En büyük alan 2 birim kare (kenarları \sqrt{2}\times\sqrt{2} olan kare).
Örnek
Soru

Bir ürünün x adet üretildiğinde toplam maliyeti M(x)=x^{2}-40x+900 TL'dir. Birim başına ortalama maliyeti \dfrac{M(x)}{x} en küçük yapan üretim miktarı x kaçtır?

  1. Ortalama maliyet O(x)=\dfrac{M(x)}{x}=\dfrac{x^{2}-40x+900}{x}=x-40+\dfrac{900}{x}, x > 0.
  2. O'(x)=1-\dfrac{900}{x^{2}}=0 \Rightarrow x^{2}=900 \Rightarrow x=30 (pozitif kök).
  3. O''(x)=\dfrac{1800}{x^{3}} > 0 olduğundan x=30 minimumdur.
  4. En küçük ortalama maliyet O(30)=30-40+\dfrac{900}{30}=30-40+30=20 TL.
Sonuç: x=30 adet (en küçük ortalama maliyet 20 TL).

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir peyzaj firması, bir kenarı x, komşu kenarı y metre olan dikdörtgen biçimli bir bahçeyi çevirecektir. Bahçenin alanı 600\,\text{m}^{2} olacaktır. Uzunluğu x olan iki karşılıklı kenar metresi 4 TL'ye, uzunluğu y olan iki karşılıklı kenar ise metresi 6 TL'ye çitle çevrilecektir. Firma, toplam çit maliyetini en küçük yapacak boyutları seçmektedir.

Buna göre en küçük toplam çit maliyeti kaç TL'dir?

A) 360 · B) 420 · C) 480 · D) 560 · E) 720

  1. Kısıt: Alan x\,y=600 \Rightarrow y=\dfrac{600}{x}.
  2. Maliyet: x kenarı iki adet (2\cdot 4x), y kenarı iki adet (2\cdot 6y):

C(x)=8x+12y=8x+12\cdot\frac{600}{x}=8x+\frac{7200}{x},\quad x>0.

  1. Türev sıfır: C'(x)=8-\dfrac{7200}{x^{2}}=0 \Rightarrow x^{2}=900 \Rightarrow x=30.
  2. Doğrula: C''(x)=\dfrac{14400}{x^{3}}>0 olduğundan x=30 bir minimumdur. Bu durumda y=\dfrac{600}{30}=20.
  3. Maliyet: C(30)=8\cdot 30+\dfrac{7200}{30}=240+240=480 TL.
Sonuç: C) 480
Örnek
Soru

Bir ambalaj atölyesinde, kenarları 9\,\text{cm} ve 24\,\text{cm} olan dikdörtgen bir mukavvanın dört köşesinden x\times x boyutunda birer kare kesilip kenarlar yukarı katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Atölye, kutunun hacmini en büyük yapan x değerini seçmektedir.

Buna göre yapılan kutunun en büyük hacmi kaç \text{cm}^{3}'tür?

A) 200 · B) 216 · C) 240 · D) 250 · E) 288

  1. Boyutlar: Katlamadan sonra yükseklik x, taban kenarları 9-2x ve 24-2x olur; taban pozitif olmalı: 0<x<4{,}5.
  2. Hacim: V(x)=x(9-2x)(24-2x)=4x^{3}-66x^{2}+216x.
  3. Türev sıfır: V'(x)=12x^{2}-132x+216=12(x^{2}-11x+18)=12(x-2)(x-9)=0 \Rightarrow x=2 veya x=9.
  4. Eleme: x=9 tanım aralığı dışındadır (9>4{,}5); geçerli aday x=2.
  5. Doğrula: V' işareti x=2'de +'dan -'ye döner, dolayısıyla maksimumdur. V(2)=2\cdot(9-4)\cdot(24-4)=2\cdot 5\cdot 20=200.
Sonuç: A) 200
Örnek
Soru

Bir apart otelin 100 odası vardır. Aylık kira 4000 TL olduğunda bütün odalar doludur. İşletme, kirayı her 200 TL artırdığında ortalama olarak 1 oda boş kalmaktadır. İşletme, aylık toplam kira gelirini en büyük yapacak kirayı belirlemek istemektedir.

Buna göre elde edilebilecek en büyük aylık toplam kira geliri kaç TL'dir?

A) 600\,000 · B) 660\,000 · C) 700\,000 · D) 720\,000 · E) 750\,000

  1. Değişken: Kira 200 TL'lik x artış yapılsın. Kira 4000+200x, dolu oda sayısı 100-x olur (0\le x\le 100).
  2. Gelir: G(x)=(4000+200x)(100-x).
  3. Düzenleme: G(x)=400000+16000x-200x^{2}.
  4. Türev sıfır: G'(x)=16000-400x=0 \Rightarrow x=40.
  5. Doğrula: G''(x)=-400<0 olduğundan x=40 bir maksimumdur. Kira 4000+200\cdot 40=12000 TL, dolu oda 100-40=60. Gelir G(40)=12000\cdot 60=720000 TL.
Sonuç: D) 720\,000
Örnek
Soru

Hacmi 500 birim küp olan, tabanı kare ve üstü açık dikdörtgenler prizması biçimli bir kutunun toplam yüzey alanı (taban + dört yan yüz) en küçük olacaktır. Taban kenarı x ile gösterilsin.

Buna göre yüzey alanını en küçük yapan x değeri kaçtır?

A) 5 · B) 8 · C) 10 · D) 12 · E) 15

  1. Kısıt: Taban kare x\times x, yükseklik h; hacim x^{2}h=500\Rightarrow h=\dfrac{500}{x^{2}}.
  2. Yüzey (üstü açık): taban x^{2} + dört yan yüz 4xh: A(x)=x^{2}+4x\cdot\dfrac{500}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{2000}{x}.
  3. Türev sıfır: A'(x)=2x-\dfrac{2000}{x^{2}}=0\Rightarrow 2x^{3}=2000\Rightarrow x^{3}=1000\Rightarrow x=10.
  4. Doğrula: A''(x)=2+\dfrac{4000}{x^{3}}>0 olduğundan x=10 bir minimumdur.
Sonuç: C) 10
Örnek
Soru

Bir cisim A(0,4) noktasından harekete başlayıp x ekseni üzerindeki P(x,0) noktasına, oradan da B(6,2) noktasına gidecektir. Yol, A ile P arası ve P ile B arası uzunlukların karelerinin toplamını (\,|AP|^{2}+|PB|^{2}\,) en küçük yapacak biçimde seçilmektedir.

Buna göre P noktasının apsisi x kaçtır?

A) 2 · B) 3 · C) 4 · D) 5 · E) 6

  1. Uzaklık kareleri: |AP|^{2}=(x-0)^{2}+(0-4)^{2}=x^{2}+16 ve |PB|^{2}=(x-6)^{2}+(0-2)^{2}=(x-6)^{2}+4.
  2. Toplam: f(x)=x^{2}+16+(x-6)^{2}+4=x^{2}+(x-6)^{2}+20.
  3. Türev sıfır: f'(x)=2x+2(x-6)=4x-12=0\Rightarrow x=3.
  4. f''(x)=4>0 olduğundan x=3 bir minimumdur.
Sonuç: B) 3
Örnek
Soru

y=12-x^{2} parabolü ile x ekseni arasında, tabanı x ekseni üzerinde ve üst köşeleri parabol üzerinde olan, y eksenine göre simetrik bir dikdörtgen çiziliyor. Birinci bölgedeki üst köşe (x,\,12-x^{2}) ile gösteriliyor.

Bu dikdörtgenin alanı en çok kaç birim karedir?

A) 16 · B) 24 · C) 32 · D) \dfrac{64}{3} · E) \dfrac{96}{3}

  1. Dikdörtgenin tabanı 2x, yüksekliği 12-x^{2} (0<x<2\sqrt 3). Alan A(x)=2x(12-x^{2})=24x-2x^{3}.
  2. Türev sıfır: A'(x)=24-6x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x=2.
  3. A''(x)=-12x<0 olduğundan x=2 maksimumdur. Yükseklik 12-2^{2}=8.
  4. Alan A=2\cdot 2\cdot 8=32.
Sonuç: C) 32

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Sözel bir soruda "en büyük / en küçük / en az / en çok" ifadelerini gördüğün an refleksin şu olsun: önce kısıtı yaz, ardından optimize edilecek büyüklüğü tek değişkene indir. Şekil çizmek, hangi uzunluğun değişken hangisinin sabit olduğunu netleştirir ve kısıtı kurmayı kolaylaştırır. Çoğu AYT sorusunda hesap kısa, asıl iş doğru kurulumdadır.

Türev — diğer konular