AYT Matematik · Türev
Trigonometrik, Üstel ve Logaritmik Türevler
Trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri AYT'de en sık çıkan türev sorularının çekirdeğini oluşturur. Bu konuda önce temel türev tablosunu ezberlenecek netlikte veriyor, ardından her birinin zincir kuralıyla genelleştirilmiş biçimini kuruyoruz. Argüman x'ten farklıysa zincir kuralı zorunludur; çoğu hata tam bu noktada yapılır.
1. Temel Türev Tablosu
Aşağıdaki türevler doğrudan ezberlenmelidir. Tüm açılar radyan kabul edilir.
| Fonksiyon | Türevi |
|---|---|
\sin x | \cos x |
\cos x | -\sin x |
\tan x | \sec^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x} |
\cot x | -\dfrac{1}{\sin^{2}x} |
e^{x} | e^{x} |
a^{x} | a^{x}\ln a |
\ln x | \dfrac{1}{x} |
\log_a x | \dfrac{1}{x\ln a} |
İki ikiliyi birlikte aklında tut: \sin\to\cos ile \cos\to-\sin yalnızca işaret farkıyla simetriktir; aynı şekilde \tan ve \cot türevleri de işaretle ayrılır.
2. Zincir Kuralıyla Genelleştirilmiş Biçimler
Argüman tek başına x değil de bir u=u(x) ifadesiyse, dıştaki türevi u' ile çarparız:
\big(\sin u\big)'=u'\cos u\qquad \big(\cos u\big)'=-u'\sin u
\big(e^{u}\big)'=u'\,e^{u}\qquad \big(a^{u}\big)'=u'\,a^{u}\ln a\qquad \big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}
Tabloya da u ekleyerek geçişi netleştirelim:
| Genel form | Türevi |
|---|---|
\tan u | \dfrac{u'}{\cos^{2}u} |
\cos u | -u'\sin u |
\log_a u | \dfrac{u'}{u\ln a} |
Sık yapılan hata:
\dfrac{d}{dx}\sin(3x)=\cos(3x)yazmak. Doğrusu argümanın türevi olan3ile çarpılmalıdır:\dfrac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x).
\dfrac{d}{dx}\sin\!\big(3x^{2}\big) türevini bulunuz.
- Dış fonksiyon
\sin u, iç fonksiyonu=3x^{2}. - İç türev:
u'=6x. - Genel formülü uygula:
\big(\sin u\big)'=u'\cos u=6x\cos\!\big(3x^{2}\big).
\dfrac{d}{dx}\sin\!\big(3x^{2}\big)=6x\cos\!\big(3x^{2}\big).\dfrac{d}{dx}\big(e^{2x}\cdot x\big) türevini bulunuz.
Burada hem çarpım kuralı hem de \big(e^{u}\big)'=u'e^{u} gerekir.
- Çarpanlar:
f=e^{2x},g=x. Çarpım kuralı:\big(fg\big)'=f'g+fg'. f'=\big(e^{2x}\big)'=2e^{2x}(iç türev2) veg'=1.- Yerine koy:
\big(e^{2x}\cdot x\big)'=2e^{2x}\cdot x+e^{2x}\cdot 1. - Ortak çarpan
e^{2x}'i parantezine al:e^{2x}(2x+1).
\dfrac{d}{dx}\big(e^{2x}\cdot x\big)=e^{2x}(2x+1).\dfrac{d}{dx}\ln\!\big(x^{2}+1\big) türevini bulunuz.
\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}formülündeu=x^{2}+1.- İç türev:
u'=2x. - Yerine koy:
\dfrac{u'}{u}=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
\dfrac{d}{dx}\ln\!\big(x^{2}+1\big)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.\dfrac{d}{dx}\big(x\tan x\big) türevini bulunuz.
\tan x'in türevinin \sec^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x} olduğunu unutma.
- Çarpanlar:
f=x,g=\tan x. Çarpım kuralı:\big(fg\big)'=f'g+fg'. - Türevler:
f'=1,g'=\sec^{2}x. - Yerine koy:
\big(x\tan x\big)'=1\cdot\tan x+x\cdot\sec^{2}x.
\dfrac{d}{dx}\big(x\tan x\big)=\tan x+x\sec^{2}x.\dfrac{d}{dx}5^{x} ve \dfrac{d}{dx}\tan\!\big(3x\big) türevlerini bulunuz.
- Üstel için
\big(a^{x}\big)'=a^{x}\ln aformülündea=5:\big(5^{x}\big)'=5^{x}\ln 5. - İkinci ifadede
\big(\tan u\big)'=\dfrac{u'}{\cos^{2}u},u=3x,u'=3. - Yerine koy:
\dfrac{3}{\cos^{2}(3x)}.
\dfrac{d}{dx}5^{x}=5^{x}\ln 5 ve \dfrac{d}{dx}\tan\!\big(3x\big)=\dfrac{3}{\cos^{2}(3x)}.(Zor) \dfrac{d}{dx}\ln(\cos x) türevini bulunuz.
\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u} formülünde u=\cos x al; sonra \dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x sadeleştirmesini kullan.
u=\cos xiçinu'=-\sin x.- Genel formül:
\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}=\dfrac{-\sin x}{\cos x}. \dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan xolduğundan ifade-\tan x'e sadeleşir.
\dfrac{d}{dx}\ln(\cos x)=-\tan x.Çözümlü Sorular
f(x)=\cos(5x) ise f'(x) nedir?
\big(\cos u\big)'=-u'\sin uformülündeu=5x.- İç türev:
u'=5. - Yerine koy:
f'(x)=-5\sin(5x).
f'(x)=-5\sin(5x).y=e^{x^{2}} fonksiyonunun türevini bulunuz.
\big(e^{u}\big)'=u'e^{u}formülündeu=x^{2}.- İç türev:
u'=2x. - Yerine koy:
y'=2x\,e^{x^{2}}.
y'=2x\,e^{x^{2}}.f(x)=\sin x\cos x ise f'(x) nedir?
- Çarpım kuralı:
\big(fg\big)'=f'g+fg',f=\sin x,g=\cos x. - Türevler:
f'=\cos x,g'=-\sin x. - Yerine koy:
f'(x)=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x. \cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos(2x)özdeşliğiyle sadeleştir.
f'(x)=\cos^{2}x-\sin^{2}x=\cos(2x).f(x)=x^{2}\ln x fonksiyonunun türevini bulunuz.
- Çarpım kuralı:
f=x^{2},g=\ln x. - Türevler:
f'=2x,g'=\dfrac{1}{x}. - Yerine koy:
f'(x)=2x\ln x+x^{2}\cdot\dfrac{1}{x}=2x\ln x+x. - Ortak
xparantezine al:x(2\ln x+1).
f'(x)=2x\ln x+x=x(2\ln x+1).f(x)=\dfrac{e^{x}}{x} fonksiyonunun türevini bulunuz.
- Bölüm kuralı:
\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}},u=e^{x},v=x. - Türevler:
u'=e^{x},v'=1. - Yerine koy:
f'(x)=\dfrac{e^{x}\cdot x-e^{x}\cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}.
f'(x)=\dfrac{e^{x}(x-1)}{x^{2}}.f(x)=\ln\!\big(x^{3}\sqrt{x+1}\big) ise f'(x) nedir?
Türev almadan önce logaritma özellikleriyle ifadeyi aç: \ln(ab)=\ln a+\ln b ve \ln a^{n}=n\ln a.
- Logaritmayı aç:
\ln\!\big(x^{3}\sqrt{x+1}\big)=3\ln x+\tfrac12\ln(x+1). \big(3\ln x\big)'=\dfrac{3}{x}.\big(\tfrac12\ln(x+1)\big)'=\dfrac12\cdot\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{2(x+1)}.- Topla:
f'(x)=\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{2(x+1)}.
f'(x)=\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{2(x+1)}.(Zor) f(x)=e^{\sin x} ise f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) değerini bulunuz.
Önce zincir kuralıyla f'(x)'i bul, sonra x=\dfrac{\pi}{2} yerine koy. \sin\dfrac{\pi}{2}=1, \cos\dfrac{\pi}{2}=0.
\big(e^{u}\big)'=u'e^{u}formülündeu=\sin x,u'=\cos x.- Türev:
f'(x)=\cos x\,e^{\sin x}. x=\dfrac{\pi}{2}koy:f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\dfrac{\pi}{2}\cdot e^{\sin(\pi/2)}=0\cdot e^{1}=0.
f'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0.Sınav Tarzı Sorular
Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.
f(x)=e^{2x}\sin(3x) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre f'(0) değeri kaçtır?
A) 0 · B) 1 · C) 2 · D) 3 · E) 5
- Çarpım kuralı:
f'(x)=\big(e^{2x}\big)'\sin(3x)+e^{2x}\big(\sin(3x)\big)'. - İç türevlerle:
\big(e^{2x}\big)'=2e^{2x}ve\big(\sin(3x)\big)'=3\cos(3x). - Birleştir:
f'(x)=2e^{2x}\sin(3x)+3e^{2x}\cos(3x). x=0koy:\sin 0=0,\cos 0=1,e^{0}=1olduğundanf'(0)=2\cdot1\cdot0+3\cdot1\cdot1=3.
3f(x)=\dfrac{e^{x}}{1+\ln x} fonksiyonu x>0 için tanımlıdır.
Buna göre f'(1) değeri kaçtır?
A) 0 · B) e · C) 1 · D) 2e · E) -e
- Bölüm kuralı:
f'(x)=\dfrac{\big(e^{x}\big)'(1+\ln x)-e^{x}\big(1+\ln x\big)'}{(1+\ln x)^{2}}. - Türevler:
\big(e^{x}\big)'=e^{x}ve\big(1+\ln x\big)'=\dfrac{1}{x}. - Yerine koy:
f'(x)=\dfrac{e^{x}(1+\ln x)-e^{x}\cdot\dfrac{1}{x}}{(1+\ln x)^{2}}. x=1için\ln 1=0ve\dfrac{1}{x}=1: pay=e(1+0)-e\cdot1=0, payda=(1+0)^{2}=1, böylecef'(1)=0.
0f(x)=2^{x}\cos x fonksiyonu veriliyor.
Buna göre f'(0) değeri kaçtır?
A) 1 · B) 2\ln 2 · C) 0 · D) \ln 2 · E) 2
- Çarpım kuralı:
f'(x)=\big(2^{x}\big)'\cos x+2^{x}\big(\cos x\big)'. - Türevler:
\big(2^{x}\big)'=2^{x}\ln 2ve\big(\cos x\big)'=-\sin x. - Birleştir:
f'(x)=2^{x}\ln 2\cos x-2^{x}\sin x. x=0koy:2^{0}=1,\cos 0=1,\sin 0=0olduğundanf'(0)=1\cdot\ln 2\cdot1-1\cdot0=\ln 2.
\ln 2f(x)=\ln\!\big(\sin x\big) fonksiyonu veriliyor.
Buna göre f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) değeri kaçtır?
A) \sqrt{3} · B) \dfrac{\sqrt{3}}{2} · C) \dfrac{1}{2} · D) 2 · E) \dfrac{1}{\sqrt{3}}
\big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}formülündeu=\sin x,u'=\cos x:f'(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x.x=\dfrac{\pi}{6}koy:\cos\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\sqrt 3}{2},\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}.- Oran:
f'\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt 3/2}{1/2}=\sqrt 3.
\sqrt{3}f(x)=e^{ax}\cos x fonksiyonunun grafiğine x=0 noktasında çizilen teğetin eğimi 3'tür.
Buna göre a kaçtır?
A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5
- Teğetin eğimi
f'(0)'dır. Çarpım kuralı:f'(x)=\big(e^{ax}\big)'\cos x+e^{ax}\big(\cos x\big)'=a\,e^{ax}\cos x-e^{ax}\sin x. x=0koy:e^{0}=1,\cos 0=1,\sin 0=0, dolayısıylaf'(0)=a\cdot 1\cdot 1-1\cdot 0=a.- Koşul
f'(0)=3olduğundana=3.
3f(x)=\dfrac{\ln x}{x} fonksiyonu x>0 için tanımlıdır ve yalnızca bir kritik noktası vardır.
Bu kritik noktadaki fonksiyon değeri f(c) kaçtır?
A) 0 · B) \dfrac{1}{e} · C) 1 · D) e · E) \dfrac{1}{e^{2}}
- Bölüm kuralı:
f'(x)=\dfrac{\big(\ln x\big)'\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}. - Kritik nokta:
f'(x)=0\Rightarrow 1-\ln x=0\Rightarrow \ln x=1\Rightarrow x=e, yanic=e. - Değer:
f(e)=\dfrac{\ln e}{e}=\dfrac{1}{e}.
\dfrac{1}{e}Sık Yapılan Hatalar
\big(\ln u\big)''i\dfrac{1}{u}sanmak: doğrusu\dfrac{u'}{u}'dur; iç türevu'ile çarpılmalıdır. Örneğin\big(\ln(x^{2}+1)\big)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1},\dfrac{1}{x^{2}+1}değil.a^{x}ilex^{a}'yı karıştırmak:\big(x^{a}\big)'=a\,x^{a-1}(kuvvet kuralı) iken\big(a^{x}\big)'=a^{x}\ln a(üstel kural). Taban mı yoksa üs mü değişken, ona bak.- Trigonometrik argümanda zincir kuralını unutmak:
\big(\sin(3x)\big)'=3\cos(3x),\cos(3x)değil. \tan x'in türevini yanlış hatırlamak: doğrusu\sec^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}'tir.
Sınav İpucu
- Argüman saf
xdeğilse (örn.3x^{2},\cos x,x^{2}+1) mutlaka zincir kuralı uygula: dış türev\timesiç türev. - Logaritmik türevden önce sadeleştir:
\lnözellikleriyle (\ln(ab)=\ln a+\ln b,\ln a^{n}=n\ln a) ifadeyi aç; örneğin\ln\!\big(x^{3}\sqrt{x+1}\big)'i türev almadan önce3\ln x+\tfrac12\ln(x+1)'e çevirmek işi kısaltır. e^{kx}tipindeki ifadelerde iç türev sabitkolur:\big(e^{kx}\big)'=k\,e^{kx}. Bunu refleks hâline getir.