çözümebak

AYT Matematik · Türev

Türev Formülleri ve Sınav Taktikleri

~7 dk okumaZorluk: Kolay14 çözümlü soru

Bu sayfa tüm türev ünitesinin özetidir: temel kurallar, özel fonksiyon türevleri, türev–grafik ilişkisi, geometrik/fiziksel anlam ve AYT'de en çok çıkan soru tipleri tek bir başvuru tablosunda. Sınavdan önce bir kez baştan sona oku; formülleri ezberle, taktikleri içselleştir. Detaylı işleniş için ilgili konulara bak — burada hız ve doğruluk esastır.

Temel Kurallar

Türevi limit tanımından her seferinde almak yerine doğrudan bu kuralları kullanırız:

KuralFormül
Sabit(c)'=0
Kuvvet (üs) kuralı(x^{n})'=n\,x^{n-1}
Sabitle çarpım(c\,f)'=c\,f'
Toplam – fark(f\pm g)'=f'\pm g'
Çarpım kuralı(f\,g)'=f'g+f\,g'
Bölüm kuralı\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-f\,g'}{g^{2}}
Zincir kuralı\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

Sınav refleksi: Önce fonksiyonun yapısını tanı (çarpım mı, bölüm mü, bileşke mi?), sonra kuralı seç. Çoğu hata yanlış kural seçiminden değil, iç türevi unutmaktan çıkar.

Özel Fonksiyonların Türevleri

FonksiyonTürevi
\sin x\cos x
\cos x-\sin x
\tan x\dfrac{1}{\cos^{2} x}
\cot x-\dfrac{1}{\sin^{2} x}
e^{x}e^{x}
a^{x}a^{x}\ln a
\ln x\dfrac{1}{x}
\log_{a} x\dfrac{1}{x\ln a}

İç fonksiyonla birleştir: \big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}, \big(e^{u}\big)'=u'\,e^{u}, \big(\sin u\big)'=u'\cos u. Tablodaki türevler x yerine u(x) geldiğinde mutlaka u' çarpanıyla gelir.

Türev ve Grafik (Özet)

Birinci türev eğimi/yön, ikinci türev bükülmeyi anlatır:

KoşulGrafiğin yorumu
f'(x) > 0Fonksiyon o aralıkta artandır
f'(x) < 0Fonksiyon o aralıkta azalandır
f'(x)=0Kritik nokta (ekstremum adayı)
f''(x) > 0Grafik konkav yukarı (dışbükey)
f''(x) < 0Grafik konkav aşağı (içbükey)
f'' işaret değiştirirDönüm (büküm) noktası
f'(c)=0 ve f''(c) > 0c'de yerel minimum (ikinci türev testi)
f'(c)=0 ve f''(c) < 0c'de yerel maksimum (ikinci türev testi)

İkinci türev testi belirsizse: f'(c)=0 ve f''(c)=0 ise test sonuç vermez; bu durumda f''nün işaret değişimine (birinci türev testi) bak.

Anlam (Geometrik & Fiziksel)

BağlamYorum
Geometrikf'(a), \big(a,f(a)\big) noktasındaki teğetin eğimidir
Normal eğimiTeğete dik doğrunun eğimi -\dfrac{1}{f'(a)}
FizikselKonum s(t)\to hız s'(t)\to ivme s''(t)
Analitikf'(a), x=a civarında anlık değişim hızı

Teğet doğru denklemi: y-f(a)=f'(a)\,(x-a). Normal doğru denklemi: y-f(a)=-\dfrac{1}{f'(a)}\,(x-a).

Sık Yapılan 10 Hata

  1. Zincir kuralında iç türevi unutmak. \big(\sin 2x\big)'=2\cos 2x, sadece \cos 2x değil.
  2. Çarpımın türevini ayrı ayrı almak. (f\,g)'\ne f'g'; doğrusu (f\,g)'=f'g+f\,g'.
  3. Bölüm kuralında işaret/sıra hatası. Pay f'g-f\,g' olmalı; f\,g'-f'g yazmak işareti ters çevirir.
  4. \ln u türevini yanlış almak. \big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u}'dur; sadece \dfrac{1}{u} değil.
  5. a^{x} ile x^{a}'yı karıştırmak. (a^{x})'=a^{x}\ln a (üstel), ama (x^{a})'=a\,x^{a-1} (kuvvet).
  6. Süreklilikten türevlenebilirliği çıkarmak. Süreklilik \not\Rightarrow türevlenebilirlik; |x| fonksiyonu x=0'da sürekli ama türevsizdir.
  7. f'(c)=0'ı her zaman ekstremum sanmak. f(x)=x^{3}'te f'(0)=0 ama x=0 ekstremum değil, dönüm noktasıdır.
  8. f''(c)=0'ı her zaman dönüm noktası sanmak. f(x)=x^{4}'te f''(0)=0 ama işaret değişmediği için dönüm yok; nokta minimumdur.
  9. Normal eğimini yanlış yazmak. Normal eğimi teğet eğiminin ters-negatifidir: -\dfrac{1}{f'(a)}, sadece -f'(a) değil.
  10. f^{(n)} ile f^{n}'i karıştırmak. f^{(n)} ardışık türev mertebesidir; ivme s''(t), hız değil ikinci türevdir.

AYT'de Türev Soru Tipleri

Soru tipiHızlı yaklaşım
Limit tanımı\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} yaz, payı çarpanla, h ile sadeleştir
Kural uygulamaYapıyı tanı (çarpım/bölüm/bileşke), uygun kuralı uygula, iç türevi unutma
Teğet / normalm=f'(a) bul; teğet y-f(a)=m(x-a), normal eğimi -\tfrac{1}{m}
Artan-azalan & ekstremumf'(x)=0 köklerini bul, işaret tablosu kur, işaret değişimine bak
İkinci türev / konkavlıkf''(x)'in işaretine bak; f'''nün işaret değiştirdiği yer dönüm noktası
OptimizasyonDeğişkeni tek harfe indir, kısıtı yerine koy, f'=0 ile uç değeri bul
Ardışık türev & fizikHız =s'(t), ivme =s''(t); f'' işaretiyle konkavlık yorumla

Hızlı Örnekler

Örnek
Soru

f(x)=x^{2}\,e^{x} fonksiyonunun türevini bulunuz.

Bu bir çarpım; (f\,g)'=f'g+f\,g' kuralını uygula. \big(e^{x}\big)'=e^{x} olduğunu hatırla.

  1. Çarpanları seç: u=x^{2}, v=e^{x}.
  2. Türevleri al: u'=2x, v'=e^{x}.
  3. Çarpım kuralı: f'(x)=u'v+u\,v'=2x\,e^{x}+x^{2}e^{x}.
  4. Ortak çarpan e^{x}'i paranteze al: f'(x)=e^{x}\,(x^{2}+2x).
Sonuç: f'(x)=e^{x}\,(x^{2}+2x).
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-3x fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını ikinci türev testiyle belirleyiniz.

Önce f'(x)=0 ile kritik noktaları bul, sonra her birinde f'''nün işaretine bak.

  1. Birinci türev: f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1).
  2. Kritik noktalar: f'(x)=0 \Rightarrow x=-1 ve x=1.
  3. İkinci türev: f''(x)=6x.
  4. Test: f''(-1)=-6 < 0 \Rightarrow x=-1 yerel maksimum; f''(1)=6 > 0 \Rightarrow x=1 yerel minimum.
Sonuç: x=-1'de yerel maksimum, x=1'de yerel minimum.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

f(x)=3x^{4}-2x^{2}+5 fonksiyonunun türevini bulunuz.

  1. Kuvvet kuralını her terime uygula: (x^{n})'=n\,x^{n-1}.
  2. (3x^{4})'=12x^{3}, (-2x^{2})'=-4x, (5)'=0.
Sonuç: f'(x)=12x^{3}-4x.
Örnek
Soru

f(x)=(2x^{2}+1)^{3} fonksiyonunun türevini zincir kuralıyla bulunuz.

  1. Dış fonksiyon u^{3}, iç fonksiyon u=2x^{2}+1.
  2. Dış türev: 3u^{2}, iç türev: u'=4x.
  3. Zincir kuralı: f'(x)=3(2x^{2}+1)^{2}\cdot 4x=12x\,(2x^{2}+1)^{2}.
Sonuç: f'(x)=12x\,(2x^{2}+1)^{2}.
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1} fonksiyonunun türevini bulunuz.

  1. Bölüm kuralı: \left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-f\,g'}{g^{2}} ile f=x, g=x^{2}+1.
  2. f'=1, g'=2x.
  3. Pay: 1\cdot(x^{2}+1)-x\cdot 2x=x^{2}+1-2x^{2}=1-x^{2}.
Sonuç: f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
Örnek
Soru

f(x)=\ln(x^{2}+1) fonksiyonunun x=1 noktasındaki türev değerini bulunuz.

  1. \big(\ln u\big)'=\dfrac{u'}{u} ile u=x^{2}+1, u'=2x.
  2. f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
  3. x=1 koy: f'(1)=\dfrac{2}{2}=1.
Sonuç: f'(1)=1.
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}-4x+1 eğrisine x=3 noktasında çizilen teğet doğrusunun denklemini bulunuz.

  1. Değme noktası: f(3)=9-12+1=-2.
  2. Eğim: f'(x)=2x-4, f'(3)=2.
  3. Teğet denklemi: y-(-2)=2(x-3)\Rightarrow y=2x-8.
Sonuç: y=2x-8.
Örnek
Soru

Bir cismin konumu s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t ile verilmiştir. Hızın sıfır olduğu t değerlerini ve t=2 anındaki ivmeyi bulunuz.

  1. Hız: s'(t)=3t^{2}-12t+9=3(t-1)(t-3).
  2. s'(t)=0\Rightarrow t=1 ve t=3.
  3. İvme: s''(t)=6t-12, s''(2)=12-12=0.
Sonuç: Hız t=1 ve t=3 anlarında sıfırdır; t=2 anında ivme 0'dır.
Örnek
Soru

f(x)=x\,e^{2x} fonksiyonunun türevini bulunuz.

  1. Çarpım kuralı: u=x, v=e^{2x}.
  2. Türevler: u'=1, v'=2e^{2x} (zincir kuralı, iç türev 2).
  3. f'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2e^{2x}=e^{2x}+2x\,e^{2x}.
  4. Ortak çarpan: f'(x)=e^{2x}\,(1+2x).
Sonuç: f'(x)=e^{2x}\,(1+2x).

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

f(x)=x^{3}+a\,x fonksiyonunun grafiğine x=1 noktasında çizilen teğet, y=5x-3 doğrusuna paraleldir.

Buna göre f(2) kaçtır?

A) 6 · B) 8 · C) 10 · D) 12 · E) 14

  1. Teğet eğimi türevle bulunur: f'(x)=3x^{2}+a.
  2. Paralellik, eğimlerin eşitliğidir; y=5x-3 doğrusunun eğimi 5 olduğundan f'(1)=5.
  3. f'(1)=3\cdot 1+a=3+a=5\Rightarrow a=2.
  4. Böylece f(x)=x^{3}+2x ve f(2)=8+4=12.
Sonuç: D) 12
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-3a\,x^{2}+4 fonksiyonunun x=2 noktasında yerel minimumu vardır.

Buna göre bu yerel minimum değeri kaçtır?

A) 0 · B) 2 · C) 4 · D) 6 · E) 8

  1. Türev: f'(x)=3x^{2}-6a\,x=3x\,(x-2a).
  2. Kritik noktalar x=0 ve x=2a'dır; x=2 ekstremum olduğundan 2a=2\Rightarrow a=1.
  3. İkinci türev testi: f''(x)=6x-6, f''(2)=6 > 0 olduğundan x=2 gerçekten yerel minimumdur.
  4. Minimum değer: f(2)=2^{3}-3\cdot 1\cdot 2^{2}+4=8-12+4=0.
Sonuç: A) 0
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{x^{2}}{e^{x}} fonksiyonunun x=0 dışındaki kritik noktası x=c'dir.

Buna göre f(c) kaçtır?

A) \dfrac{2}{e} · B) \dfrac{4}{e^{2}} · C) \dfrac{1}{e^{2}} · D) \dfrac{4}{e} · E) \dfrac{2}{e^{2}}

  1. Bölüm (veya çarpım) kuralıyla türev: f'(x)=\dfrac{2x\,e^{x}-x^{2}e^{x}}{e^{2x}}=\dfrac{x\,(2-x)}{e^{x}}.
  2. f'(x)=0\Rightarrow x\,(2-x)=0; kökler x=0 ve x=2'dir.
  3. x=0 dışındaki kritik nokta c=2'dir.
  4. Değer: f(2)=\dfrac{2^{2}}{e^{2}}=\dfrac{4}{e^{2}}.
Sonuç: B) \dfrac{4}{e^{2}}
Örnek
Soru

f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x+2 fonksiyonunun dönüm noktasındaki teğeti y eksenini hangi noktada keser?

A) (0,2) · B) (0,4) · C) (0,6) · D) (0,8) · E) (0,10)

  1. Türevler: f'(x)=3x^{2}-12x+9, f''(x)=6x-12.
  2. Dönüm noktası: f''(x)=0\Rightarrow x=2. Değer: f(2)=8-24+18+2=4, nokta (2,4).
  3. Teğet eğimi: f'(2)=12-24+9=-3. Teğet denklemi: y-4=-3(x-2)\Rightarrow y=-3x+10.
  4. y eksenini kestiği nokta (x=0): y=-3\cdot 0+10=10, yani (0,10).
Sonuç: E) (0,10)
Örnek
Soru

f(x)=\ln(x^{2}+1) fonksiyonu veriliyor.

Buna göre f''(0) değeri kaçtır?

A) 0 · B) 1 · C) 2 · D) -1 · E) -2

  1. Birinci türev: f'(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
  2. İkinci türev (bölüm kuralı): f''(x)=\dfrac{2(x^{2}+1)-2x\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{2x^{2}+2-4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{2-2x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}.
  3. x=0 koy: f''(0)=\dfrac{2-0}{(0+1)^{2}}=\dfrac{2}{1}=2.
Sonuç: C) 2

Türev — diğer konular