çözümebak

AYT Matematik · Türev

Türev Alma Kuralları

~10 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Türevin limit tanımını her seferinde uygulamak yorucu ve hataya açıktır. Bu konu, türevi mekanik olarak hesaplamayı sağlayan kuralları işler: kuvvet, sabit, sabitle çarpım, toplam-fark, çarpım, bölüm ve zincir kuralı. AYT türev sorularının büyük çoğunluğu bu kuralların bileşiminden ibarettir; bunları akıcı kullanmak sınavda hız ve doğruluk demektir.

1. Kuvvet (Üs) Kuralı

Her reel n için (n negatif veya rasyonel de olabilir):

\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\,x^{n-1}

Bu kuralın gücü, kökleri ve kesirleri üslü biçime çevirdiğinizde ortaya çıkar:

İfadeÜslü biçimTürevi
\sqrt{x}x^{1/2}\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
\dfrac{1}{x}x^{-1}-x^{-2}=-\dfrac{1}{x^{2}}
\dfrac{1}{x^{2}}x^{-2}-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}
\sqrt[3]{x}x^{1/3}\dfrac{1}{3}x^{-2/3}=\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}

Sık yapılan hata: \sqrt{x} ya da \dfrac{1}{x} gibi ifadeleri üslü biçime çevirmeden türev almaya çalışmak. Önce x^{1/2}, x^{-1} yazın; sonra kuvvet kuralını uygulayın.

2. Doğrusal Kurallar

KuralFormül
Sabit(c)'=0
Sabitle çarpım(c\cdot f)'=c\cdot f'
Toplam – fark(f\pm g)'=f'\pm g'

Bu üç kural sayesinde polinomların türevi terim terim alınır. Sabitle çarpımda katsayı türevin dışında kalır.

3. Çarpım ve Bölüm Kuralları

Çarpım ve bölümün türevi, çarpanların türevlerinin çarpımı/bölümü değildir. Doğru formüller:

\big(f\cdot g\big)'=f'g+f\,g'

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-f\,g'}{g^{2}},\qquad g(x)\ne 0

Bölüm kuralında pay sırası önemlidir: önce (\text{payın türevi})\cdot(\text{payda}), sonra eksi (\text{pay})\cdot(\text{paydanın türevi}).

4. Zincir Kuralı

Bileşke fonksiyonun türevi, dıştan içe alınır: dış fonksiyonun türevi çarpı iç fonksiyonun türevi.

\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\cdot g'(x)

En sık karşılaşılan özel hâli genelleştirilmiş kuvvet kuralıdır:

\Big(\big[u(x)\big]^{n}\Big)'=n\,\big[u(x)\big]^{n-1}\cdot u'(x)

Buradaki u'(x) çarpanına iç türev denir; zincir kuralında en çok unutulan parçadır.

Bileşik fonksiyonTürevi
(ax+b)^{n}n(ax+b)^{n-1}\cdot a
\sqrt{u(x)}\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}
\dfrac{1}{u(x)}-\dfrac{u'(x)}{[u(x)]^{2}}
Örnek
Soru

f(x)=3x^{4}-2\sqrt{x}+\dfrac{5}{x} fonksiyonunun türevini bulunuz.

\sqrt{x}=x^{1/2} ve \dfrac{5}{x}=5x^{-1} yazıp her terime kuvvet kuralını uygulayın.

  1. Üslü biçime geç: f(x)=3x^{4}-2x^{1/2}+5x^{-1}.
  2. Terim terim türev al: f'(x)=3\cdot 4x^{3}-2\cdot\dfrac{1}{2}x^{-1/2}+5\cdot(-1)x^{-2}.
  3. Sadeleştir: f'(x)=12x^{3}-x^{-1/2}-5x^{-2}.
  4. Kök ve kesir biçimine dön: f'(x)=12x^{3}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{5}{x^{2}}.
Sonuç: f'(x)=12x^{3}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}-\dfrac{5}{x^{2}}.
Örnek
Soru

f(x)=(x^{2}+1)(x^{3}-x) fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulup sadeleştiriniz.

  1. Çarpanları ve türevlerini belirle: f=x^{2}+1, f'=2x; \;g=x^{3}-x, g'=3x^{2}-1.
  2. Çarpım kuralını uygula: f'(x)=2x(x^{3}-x)+(x^{2}+1)(3x^{2}-1).
  3. Aç: 2x^{4}-2x^{2}+(3x^{4}-x^{2}+3x^{2}-1)=2x^{4}-2x^{2}+3x^{4}+2x^{2}-1.
  4. Benzer terimleri topla: f'(x)=5x^{4}-1.
Sonuç: f'(x)=5x^{4}-1.
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}-3} fonksiyonunun türevini bulunuz.

Bölüm kuralında sıra: \dfrac{(\text{pay})'\cdot(\text{payda})-(\text{pay})\cdot(\text{payda})'}{(\text{payda})^{2}}.

  1. Parçaları belirle: pay f=2x+1, f'=2; payda g=x^{2}-3, g'=2x.
  2. Bölüm kuralını yaz: f'(x)=\dfrac{2(x^{2}-3)-(2x+1)(2x)}{(x^{2}-3)^{2}}.
  3. Payı aç: 2x^{2}-6-(4x^{2}+2x)=2x^{2}-6-4x^{2}-2x.
  4. Sadeleştir: f'(x)=\dfrac{-2x^{2}-2x-6}{(x^{2}-3)^{2}}.
Sonuç: f'(x)=\dfrac{-2x^{2}-2x-6}{(x^{2}-3)^{2}}.
Örnek
Soru

Türevleri bulunuz: (a) f(x)=(3x^{2}-5)^{4}, (b) g(x)=\sqrt{x^{2}+1}.

İki soruda da dış işlem (üs almak / karekök) ile iç fonksiyonu ayırt edin; iç türevi unutmayın.

  1. (a) Genelleştirilmiş kuvvet kuralı: u=3x^{2}-5, u'=6x.
  2. f'(x)=4(3x^{2}-5)^{3}\cdot 6x=24x(3x^{2}-5)^{3}.
  3. (b) Karekökü üslü yaz: g(x)=(x^{2}+1)^{1/2}, iç u=x^{2}+1, u'=2x.
  4. g'(x)=\dfrac{1}{2}(x^{2}+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Sonuç: f'(x)=24x(3x^{2}-5)^{3} ve g'(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}(2x-1)^{3} fonksiyonunun türevini bulup çarpanlarına ayırınız.

Bu bir çarpım (x^{2} ile (2x-1)^{3}); ikinci çarpanın türevi için ayrıca zincir kuralı gerekir.

  1. Çarpanlar: f=x^{2}, f'=2x; \;g=(2x-1)^{3}.
  2. g için zincir kuralı: g'=3(2x-1)^{2}\cdot 2=6(2x-1)^{2}.
  3. Çarpım kuralı: f'(x)=2x(2x-1)^{3}+x^{2}\cdot 6(2x-1)^{2}.
  4. Ortak çarpan 2x(2x-1)^{2} parantezine al: f'(x)=2x(2x-1)^{2}\big[(2x-1)+3x\big]=2x(2x-1)^{2}(5x-1).
Sonuç: f'(x)=2x(2x-1)^{2}(5x-1).

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

f(x)=4x^{3}-7x^{2}+2x-9 fonksiyonunun türevini bulunuz.

  1. Her terime kuvvet ve doğrusal kuralları uygula: f'(x)=4\cdot 3x^{2}-7\cdot 2x+2\cdot 1-0.
  2. Sadeleştir: f'(x)=12x^{2}-14x+2.
Sonuç: f'(x)=12x^{2}-14x+2.
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{3}{x^{2}}+4\sqrt[3]{x} fonksiyonunun türevini bulunuz.

  1. Üslü biçime geç: f(x)=3x^{-2}+4x^{1/3}.
  2. Terim terim türev al: f'(x)=3\cdot(-2)x^{-3}+4\cdot\dfrac{1}{3}x^{-2/3}.
  3. Sadeleştir: f'(x)=-6x^{-3}+\dfrac{4}{3}x^{-2/3}.
  4. Kök ve kesir biçimine dön: f'(x)=-\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{4}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
Sonuç: f'(x)=-\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{4}{3\sqrt[3]{x^{2}}}.
Örnek
Soru

f(x)=(x^{2}-2x)(x+5) fonksiyonunun türevini çarpım kuralıyla bulunuz.

  1. Çarpanları belirle: u=x^{2}-2x, u'=2x-2; \;v=x+5, v'=1.
  2. Çarpım kuralını uygula: f'(x)=(2x-2)(x+5)+(x^{2}-2x)\cdot 1.
  3. Aç: (2x^{2}+10x-2x-10)+(x^{2}-2x)=2x^{2}+8x-10+x^{2}-2x.
  4. Benzer terimleri topla: f'(x)=3x^{2}+6x-10.
Sonuç: f'(x)=3x^{2}+6x-10.
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{x}{x+1} fonksiyonunun x=1 noktasındaki türev değerini bulunuz.

  1. Parçaları belirle: pay u=x, u'=1; payda v=x+1, v'=1.
  2. Bölüm kuralı: f'(x)=\dfrac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^{2}}=\dfrac{x+1-x}{(x+1)^{2}}=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}.
  3. x=1 yerine koy: f'(1)=\dfrac{1}{(1+1)^{2}}=\dfrac{1}{4}.
Sonuç: f'(1)=\dfrac{1}{4}.
Örnek
Soru

f(x)=(5x-3)^{6} fonksiyonunun türevini bulunuz.

  1. Genelleştirilmiş kuvvet kuralı: dış üs 6, iç u=5x-3, u'=5.
  2. f'(x)=6(5x-3)^{5}\cdot 5.
  3. Sadeleştir: f'(x)=30(5x-3)^{5}.
Sonuç: f'(x)=30(5x-3)^{5}.
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x} fonksiyonunun türevini bulunuz.

  1. Parçaları belirle: pay u=(x-1)^{2}, zincir kuralıyla u'=2(x-1); payda v=x, v'=1.
  2. Bölüm kuralı: f'(x)=\dfrac{2(x-1)\cdot x-(x-1)^{2}\cdot 1}{x^{2}}.
  3. Payda ortak çarpan (x-1) parantezine al: \dfrac{(x-1)\big[2x-(x-1)\big]}{x^{2}}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x^{2}}.
  4. Çarpımı aç: f'(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=1-\dfrac{1}{x^{2}}.
Sonuç: f'(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x^{2}}=1-\dfrac{1}{x^{2}}.
Örnek
Soru

f(x)=x\sqrt{2x+5} fonksiyonunun türevini bulup ortak paydada toplayınız.

  1. Bu bir çarpım: u=x, u'=1; \;v=\sqrt{2x+5}=(2x+5)^{1/2}.
  2. v için zincir kuralı: v'=\dfrac{1}{2}(2x+5)^{-1/2}\cdot 2=\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}.
  3. Çarpım kuralı: f'(x)=1\cdot\sqrt{2x+5}+x\cdot\dfrac{1}{\sqrt{2x+5}}.
  4. Ortak paydada topla: f'(x)=\dfrac{(2x+5)+x}{\sqrt{2x+5}}=\dfrac{3x+5}{\sqrt{2x+5}}.
Sonuç: f'(x)=\dfrac{3x+5}{\sqrt{2x+5}}.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

f(x)=(x^{2}-3x)(2x+1)^{4} fonksiyonu veriliyor.

Buna göre f'(1) kaçtır?

A) -405 · B) -432 · C) -486 · D) -513 · E) -540

  1. Bu bir çarpım; ikinci çarpan için zincir kuralı gerekir: u=x^{2}-3x, u'=2x-3; \;v=(2x+1)^{4}, v'=4(2x+1)^{3}\cdot 2=8(2x+1)^{3}.
  2. Çarpım kuralı: f'(x)=(2x-3)(2x+1)^{4}+(x^{2}-3x)\cdot 8(2x+1)^{3}.
  3. x=1 yerine koy: 2x+1=3, x^{2}-3x=-2, 2x-3=-1.
  4. f'(1)=(-1)\cdot 3^{4}+(-2)\cdot 8\cdot 3^{3}=-81+(-16)\cdot 27=-81-432=-513.
Sonuç: D) -513
Örnek
Soru

g(x)=x^{2}+1 ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f'(2)=3 veriliyor. h(x)=f\big(g(x)\big) olsun.

Buna göre h'(1) kaçtır?

A) 3 · B) 6 · C) 9 · D) 12 · E) 15

  1. Zincir kuralı: h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
  2. İç türev: g'(x)=2x, dolayısıyla g'(1)=2.
  3. İç fonksiyonun değeri: g(1)=1^{2}+1=2, böylece f'\big(g(1)\big)=f'(2)=3.
  4. h'(1)=f'(2)\cdot g'(1)=3\cdot 2=6.
Sonuç: B) 6
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{\sqrt{3x+1}}{x} fonksiyonu veriliyor.

Buna göre f'(1) kaçtır?

A) \dfrac{3}{4} · B) -\dfrac{1}{4} · C) -\dfrac{3}{4} · D) -1 · E) -\dfrac{5}{4}

  1. Pay için zincir kuralı: u=(3x+1)^{1/2}, u'=\dfrac{1}{2}(3x+1)^{-1/2}\cdot 3=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}; payda v=x, v'=1.
  2. Bölüm kuralı: f'(x)=\dfrac{\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}\cdot x-\sqrt{3x+1}}{x^{2}}.
  3. x=1 yerine koy: \sqrt{3\cdot 1+1}=\sqrt{4}=2, dolayısıyla u'(1)=\dfrac{3}{2\cdot 2}=\dfrac{3}{4}.
  4. f'(1)=\dfrac{\dfrac{3}{4}\cdot 1-2}{1^{2}}=\dfrac{3}{4}-2=-\dfrac{5}{4}.
Sonuç: E) -\dfrac{5}{4}
Örnek
Soru

f türevlenebilir bir fonksiyon olup g(x)=f\big(x^{2}+1\big) biçiminde tanımlanıyor. f'(5)=4 olduğu biliniyor.

Buna göre g'(2) kaçtır?

A) 8 · B) 12 · C) 16 · D) 20 · E) 24

  1. Zincir kuralı: g'(x)=f'\big(x^{2}+1\big)\cdot\big(x^{2}+1\big)'=f'\big(x^{2}+1\big)\cdot 2x.
  2. İç fonksiyonun x=2'deki değeri: 2^{2}+1=5, dolayısıyla f'\big(x^{2}+1\big)=f'(5)=4.
  3. İç türev: 2x=2\cdot 2=4.
  4. Çarp: g'(2)=4\cdot 4=16.
Sonuç: C) 16
Örnek
Soru

f(x)=\dfrac{ax+1}{x^{2}+1} fonksiyonunun x=0 noktasındaki türev değeri 3'tür.

Buna göre a kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

  1. Bölüm kuralı: f'(x)=\dfrac{a\,(x^{2}+1)-(ax+1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}.
  2. x=0 koy: pay =a\cdot 1-(0+1)\cdot 0=a, payda =(0+1)^{2}=1.
  3. Böylece f'(0)=a.
  4. Koşul f'(0)=3 olduğundan a=3.
Sonuç: C) 3
Örnek
Soru

f(x)=\big(x^{3}-2x+1\big)^{5} fonksiyonunun grafiğine x=1 apsisli noktada çizilen teğetin eğimi kaçtır?

A) 0 · B) 5 · C) 10 · D) 15 · E) 20

  1. Teğetin eğimi f'(1)'dir. Genelleştirilmiş kuvvet kuralı: f'(x)=5\big(x^{3}-2x+1\big)^{4}\cdot\big(3x^{2}-2\big).
  2. İç fonksiyonun x=1'deki değeri: 1-2+1=0, dolayısıyla \big(x^{3}-2x+1\big)^{4}=0^{4}=0.
  3. Dış çarpan sıfır olduğundan iç türevin değerine bakmaya gerek kalmadan f'(1)=5\cdot 0\cdot(3-2)=0.
  4. Eğim sıfırdır; teğet yataydır.
Sonuç: A) 0

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

AYT türev sorularının çoğu, zincir kuralının çarpım veya bölümle bileşimidir. Karmaşık bir ifadeyle karşılaşınca önce en dıştaki işlemi belirleyin: "Bu bir çarpım mı, bölüm mü, yoksa bir kuvvet mi?" Buna göre dış kuralı seçin, iç parçaları sonra türevleyin. Çıkan sonucu çoğunlukla ortak çarpan parantezine alabilirsiniz; şıklar genellikle çarpanlanmış biçimde verilir.

Türev — diğer konular